Existe una versión de la valuative criterios para la separación/propio para las variedades?

Question

Lo que yo tenía en mente era algo como lo siguiente:

X es separado/adecuado iff para todas las curvas C y todos los mapas f : C \ c -> X, f se extiende a C en la mayoría de/exactamente de una manera.

Hay una buena razón por qué esto no puede ser verdad?

Aquí X denota una reducción de esquema finito de tipo de un campo k (supongo que la gente suele llamar a este prevariety). Estoy interesada en el caso en que k es algebraicamente cerrado.

Answer 1

Si usted hace la declaración

Fijar una algebraicamente cerrado de la base de campo k, y sea X un esquema finito de tipo k. Entonces X/k es adecuada iff para todos liso cuasi-proyectiva de las curvas de C/k y todos los mapas f: C\c -> X entonces f se extiende únicamente a f': C -> X.

parece verdad para mí. Esto se debe, básicamente, consiste en el hecho de que se puede clasificar birational de clases de equivalencia de curvas de más de k en términos de la 'abstracto de las curvas de' procedentes de todos los posibles discretos valoraciones sobre la dimensión 1 función de los campos de K/k. Así que, usando el hecho de que en esta situación es suficiente para comprobar la valuative criterio en DVRs parece que no debe ser tan difícil ver la equivalencia. El argumento que yo tenía en mente es el siguiente:

El valuative criterio implica la declaración anterior. Lo contrario es suficiente para mostrar que cualquier f: Spec K -> X ascensores para abrir un subconjunto de la curva C,_K determinado por K/k por que me refiero a la única nonsingular proyectiva de la curva en el birational clase correspondiente a K/k (el distinguido punto en el complemento pensamos en como se va a quitar es determinada únicamente por el discreto valoración le pick así que no es problema). Si f sólo llega a un punto de cierre podemos colapso C_K a través del mapa de la estructura de Spec k esto es bueno ya que no hay nada para levantar. Si no, llegamos a una dimensión de 1 punto cuyo cierre con la reducción inducida por la estructura determina algunos curva C' birational a la correspondiente C_K'. El mapa K' -> K induce una dominante de morfismos g: C_K -> C_K'. Por lo tanto, obtener un mapa de tomar una común (hasta el isomorfismo) abierto en C_K' y C' , que toma su preimagen U en C_K y teniendo en cuenta
U -> C -> X cual es el deseado de elevación de la f a la cuasi-proyectiva de la curva de U.

Creo que hay también un impermeable argumento mediante la definición categórica de finito de presentación.

Por las mismas razones por la que esto funciona para la comprobación de separatedness cuando uno hace las obvias modificaciones a la declaración.

Sobre otras bases, no estoy seguro de que en este momento... no recuerdo si el birational clasificación aún es así de simple (aunque algunas personas significa implícitamente por la variedad de que todo es más algunos fijos alg. la base cerrada).

En el caso más general (si su definición de variedad no incluyen un número finito de tipo más de un noetherian base de hipótesis) donde uno necesita no noetherian valoración de los anillos creo que esta interpretación es falsa - no noetherian valoración de los anillos puede tener dimensión arbitraria.

Answer 2

Yo no entiendo completamente, ¿qué tipo de respuesta que usted está buscando, pero he aquí una observación.

No es suficiente para considerar la posibilidad de suavizar las curvas de C en el suelo del campo k, pero para un tonto razón: puede que sea necesario extraer más de un punto de C para obtener cualquier interesantes mapas a X.

Por ejemplo, sea X el complemento de los ejes de coordenadas en Un². Podemos considerar a X como una abierta subscheme de P². Cualquier racional mapa de C a X se extiende a un verdadero mapa de la C a P², pero cualquier curva en P² cruza los tres coordinar líneas en al menos dos puntos. Así que la única mapas de C\{c} para X son constantes. Así que esta X satisface las curvas de la versión de la valuative criterio (se quita un único punto de una curva proyectiva) para propio, pero no es correcto. Usted puede doblar un punto en X para obtener algo que no separados que satisface las curvas separatedness criterio, pero no están separados.