Compacto fórmula para $\sum_k k!$

Question

Es allí cualquier compacto fórmula:

$$\sum_{k=0}^n k!$$

He tratado de encontrar que el uso de un método para la suma, pero yo era capaz de recibir sólo compacto fórmula para $\sum_k k! \cdot k = (n+1)!-1$

He escrito en wolfram, pero la respuesta es también muy complicado.

Answer 1

Puede que prefieren tratar con la siguiente representación integral

$$ \sum_{k=0}^{n}k! = \sum_{k=0}^{n} \Gamma(k+1)= \sum_{k=0}^{n}\int_{0}^{\infty}x^{k}e^{-x}dx = \int_{0}^{\infty}\frac{x^{n+1}-1}{x-1}e^{-x}dx , $$

donde $\Gamma(s)$ es la función gamma.

Answer 2

Este es A003422; la única más o menos la forma cerrada de la expresión dada no es

$$\sum_{k=0}^{n-1}k!=\int_0^\infty\frac{x^n-1}{x-1}e^{-x}dx\;.$$

Answer 3

$\sum_{k=0}^n (k^2+1)k!$$=$$\sum_{k=0}^n [(k+1)^2-2k]k!$$=$$\sum_{k=0}^n (k+1)(k+1)!$ $-$ $\sum_{k=0}^n 2k.k!$ $=$ $n $$( n+1)!+1 $