Los números de Betti de complejo de "esfera"

Question

Deje $X$ el conjunto de soluciones a$x_1^2+\ldots+x_n^2=1$$\mathbb{C}^n$. Esto tiene una dimensión real $2(n-1)$, pero desde $X$ es un afín algebraicas variedad, el único posible no-cero topológica de los números de Betti de $X$$b_0,\ldots,b_{n-1}$.

¿Cuál es el máximo número de Betti $b_{n-1}$?

La verdadera esfera de $S^{n-1}$ incrusta en $X$, la determinación de una clase en $H_{n-1}(X,\mathbb{Q})$. Me pregunto si esta clase abarca la homología del grupo.

He parecer algunos de los resultados en número de Betti para proyectiva hypersurfaces, pero no para afín.

Answer 1

Esta compleja esfera de la deformación se retrae en el real esfera $S^{n-1}$ dentro de él, de modo que se homotopy equivalente, y, en particular, tienen los mismos números de Betti. Para ver esto de manera muy explícita, escribir $x_k = a_k + i b_k$, escribir $a = (a_1, a_2, \dots) \in \mathbb{R}^n$, y escribir $b = (b_1, b_2, \dots) \in \mathbb{R}^n$. La definición de la ecuación es un par de ecuaciones

$$||a||^2 = 1 + ||b||^2$$ $$a \cdot b = 0$$

y queremos deformación retractarse de esta cosa en el subespacio donde $b = 0$. Para ello vamos a enviar a $b$ $(1 - t) b$donde $t \in [0, 1]$, y enviar a $a$ $f(t) a$donde $f(t)$ es una función elegida para tener la propiedad de que la primera ecuación se sostiene. Esto significa que queremos que $||a||^2 = 1 + ||b||^2$ implicar

$$f(t)^2 ||a||^2 = f(t)^2 (1 + ||b||^2) = 1 + (1 - t)^2 ||b||^2$$

lo que da

$$f(t) = \sqrt{ \frac{1 + (1 - t)^2 ||b||^2}{1 + ||b||^2} }.$$

Como una comprobación de validez, cuando se $n = 0$ el espacio de soluciones es de dos puntos, que es $S^0$, y al $n = 1$ el espacio de soluciones es $\mathbb{C}^{\times}$ (reescritura de la definición de la ecuación de $(x_1 + i x_2)(x_1 - i x_2) = 1$), que la deformación se retrae en $S^1$.

Answer 2

Aquí está la respuesta que yo quería escribir, pero desde Qiaochu publicado su primera voy a hacer la mía Wiki de la Comunidad y el uso de su notación.

Recordemos que la tangente paquete a la esfera de $S^{n-1}\subset \mathbb R^n$ es el submanifold $TS^{n-1}\subset S^{n-1}\times \mathbb R^n$ consiste de pares de $(u,v) \in S^{n-1}\times \mathbb R^n$ $u\bullet v=0$ (producto escalar usual en $\mathbb R^n$).
El sorprendente resultado es que tenemos un diffeomorphism $$X\stackrel {\sim}{\to} TS^{n-1}: x=a+ib\mapsto (u=\frac {a}{||a||},v=b)$$ whose inverse diffeomorphism is $TS^{n-1}\stackrel {\sim} {\,} X:(u,v)\mapsto x+iy=(\sqrt {1+||v||^2}){u}+iv$.
Como todos los vectores de paquetes de $TS^{n-1}$ es homotópica a su base de espacio $S^{n-1}$, y por lo tanto $X$ es homotópica a$S^{n-1}$, con lo que, finalmente,$b_{n-1}(X)=1$$n\geq2$$b_0(X)=2$$n=1$.