Mi forma preferida es pensar en un automorphic/rep n'teórico, ya que
esta es la forma de expresión conjetural de la generalización de a $GL_n$ (como se discutió decir
en varios documentos de Taylor y sus colaboradores).
La primera cosa a saber es que si $f$ es un cuspidal Hecke eigenform, entonces da lugar a (de hecho, genera, si una de las frases de las cosas adecuadamente), una irrep.
de $GL_2(\mathbb A_f)$ (donde $\mathbb A_f$ es el anillo finito de adeles).
(De hecho, uno puede incluso conseguir un rep n de $GL_2(\mathbb A)$ para el adelic grupo,
pero no necesitamos considerar la acción de la $GL_2(\mathbb R)$ en lo que sigue.)
Este es un producto tensor de irreps. de $GL_2(\mathbb Q_p)$ para cada uno de los prime $p$.
Estos son tradicionalmente señalados $\pi_p$.
Concretamente, la rep & $\pi_p$ puede ser obtenida de la siguiente manera:
piensa en todas las oldforms generado por $f$ mediante la adición de todos los poderes de $p$ para el nivel (no sólo $\Gamma_0$ $p$-el nivel de potencia, pero total $p$-nivel de potencia, es decir, de pasar a la (desconectado) modular de la curva de nivel total $p^n$, además de lo que
a nivel de estructura $f$ tenía al comenzar).
Este espacio de $p$-potencia viejas formas tiene una acción natural de la $GL_2(\mathbb Q_p)$,
y es que precisamente es $\pi_p$.
Ahora un teorema básico es que el $\pi_p$ no contiene finito-dim l subreps. Esto puede
se demostró a través de mirar a $q$-expansiones, por ejemplo. (Básicamente, finita y dim l subrep. sólo podría tener constante $q$-expansión, pero esto no es posible para un cuspform.)
Ihara del lexema es el análogo de la declaración cuando trabajamos con el mod $\ell$ cuspforms
para algunos el primer $\ell$ (y tomamos $p \neq \ell$ en la discusión anterior).
Uno puede trabajar directamente con el mod $\ell$ formas modulares, como en los papeles de Serre, Swinnerton--Dyer, etc., o en su lugar se puede utilizar Eichler--Shimura (al menos
filosóficamente) para reemplazar a las formas modulares por cohomology y, a continuación, utilizar cohomology con el mod $\ell$ de los coeficientes.
En lugar de sólo trabajar con cuspforms en el mod $\ell$, es importante trabajar con el $\pi_p$ generado por un no-Eisenstein eigenform.
Las diferentes declaraciones que usted puede encontrar en la literatura no son todos, literalmente
equivalente, pero todas ellas implican mis formulación de aquí, y de esta formulación es el punto clave.
Ahora "no contiene el finito-dim l subreps." tiene una interpretación teórica más
como "admite una Whittaker modelo", que a veces también se conoce como "ser genérico". (Este es un rep n'teórico de la condición
que es algo así como admiting al menos uno distinto de cero no constante coeficiente de Fourier.) Tiene sentido si se sustituye $GL_2$$GL_n$, y es cierto
para cuspidal automorphic reps. de $GL_n$.
El análogo de mod $\ell$ declaración no es conocido en general (aunque se cree); el problema (o al menos un problema) es que al $n > 2$, no es suficiente para eliminar finito-dimensional subreps.; no puede ser infinito-dim l
irred. reps. que no son genéricos (es decir, no admitir Whittaker modelos). (Hay jerarquías de dimensionalidad infinita por los representantes. de $GL_n(\mathbb Q_p)$,
y aquellos que admitir Whittaker modelos están en la parte superior --- ellos son la "mayoría" de infinitas dimensiones; por $GL_2$ este es el único miembro de la jerarquía, pero al $n > 2$ hay otras "menos" de dimensiones infinitas repeticiones.)
El primer papel de Clozel--Harris-Taylor en Sato--Tate era contingente en
Ihara del Lema para $GL_n$ (y si se mira a Taylor ICM talk usted puede ver
una formulación de Ihara del Lema cerca de el que tengo aquí). En su seguimiento
solo de papel, Taylor encontrar una manera alrededor de ella (a través de un método a la gente en el campo
a menudo llamada la "Ihara evitación").
El papel que Ihara del Lema juega en la modularidad de los teoremas es que implica
luego, cuando hay congruencias entre el $\ell$-ádico Galois reps. de diferentes conductor, y el de menor conductores es modular, entonces el de mayor
conductor es también modular (uno pasa a un oldform mod $\ell$, lo que
podemos encontrar debido a la genericity, es decir, infinito-dimensionalidad, que Ihara del Lema luego garantías, y lo eleva a una forma que es en realidad
de nuevo en el mayor conductor). Así Ihara del Lexema es lo que te permite probar
la modularidad teoremas para $\ell$-ádico reps. por inducción sobre la prime-a-$\ell$ conductor. (En [DDT], verás que se utiliza para ir de la mínima
caso a la no-mínimo caso, que es una formulación de la inducción
Estoy discutiendo.)
Taylor Ihara evitación le permitió hacer un formulario de este argumento inductivo
de todos modos (el argumento que utiliza una sutil comparación de la geometría de los genéricos y de fibras especiales de diversos
Galois def. los espacios).
Aún así, existe un considerable interés en probar la $GL_n$ forma de Ihara del Lexema. E. g. Creo que el trabajo reciente de Clozel y Thorne utiliza algunas formas
de Ihara. También, David Timón y me describió cómo interpolar local Langlands
para $GL_2(\mathbb Q_p)$ $\ell$- ádico familias, pero para saber que es lo que
en realidad ocurre en la $\ell$-ádico familias de automorphic formas para $GL_n$, necesitaríamos tener Ihara (desde nuestra interpolación de los usos genéricos de representaciones).
