Deje que $\varphi=\frac{1+\sqrt5}2$ (la proporción áurea). ¿Cómo puedo simplificar la siguiente expresión? $$7\arctan^2\varphi+2\arctan^2\varphi^3-\arctan^2\varphi^5$$
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Vamos a utilizar un conocido$^{[1]}$ fórmula para la suma de arctangents: $$\arctan u + \arctan v = \arctan \left( \frac{u+v}{1-uv} \right) \pmod \pi\tag1$$ La exacta igualdad sostiene por $uv<1$, para otros valores no hay plazo adicional — un entero múltiplo de $\pi$ (es fácil determinar en cada caso).
Usando esta fórmula, podemos establecer las siguientes identidades: $$\begin{align} \arctan\varphi\phantom{^1}&=\frac\pi2-\frac12\,\arctan2,\tag2\\ \arctan\varphi^3&=\frac\pi4+\frac12\,\arctan2,\tag3\\ \arctan\varphi^5&=\pi\frac32\,\arctan2.\tag4 \end{align}$$ Conectar estas en la expresión original de la pregunta y la expansión de los paréntesis, podemos ver que todos los $\arctan2$ términos cancelar, y obtenemos el resultado $$7\arctan^2\varphi+2\arctan^2\varphi^3-\arctan^2\varphi^5=\frac{7\pi^2}8.\tag5$$
orangeskid
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La respuesta de @Vladimir Reshetnikov: es difícil de mejorar, así que vamos a tratar de responder algunas de las preguntas planteadas en los comentarios.
Si $\phi=\frac{1+ \sqrt{5}}{2}$ es el positivo de la raíz de $x^2 - x-1=0$, a continuación, \begin{eqnarray} \tan(2 \arctan(\phi^n)) = \frac{2\phi^n}{ 1- \phi^{2n}} = \begin{casos} -\frac{2}{L_{n}} \text{ si $n$ impar} \\ -\frac{2}{F_{n}\sqrt{5}} \text{ si $n$ incluso } \end{casos} \end{eqnarray}
donde $(F_n)$ es la secuencia de Fibonacci y $(L_n)$ es el Lucas de la secuencia.
De hecho, por cada $v$ tenemos $$(1+ iv)^2 = 1 - v^2 + 2 i v= -v\cdot ( v -\frac{1}{v} - 2 i)$$ Ahora considere $v = \phi^n$. Tenemos $$(1+ i \phi^n)^2 = - \phi^n\cdot ( \phi^n - \phi^{-n} - 2 i)$$ Tenga en cuenta que $\phi$, $-\frac{1}{\phi}$ son las raíces de $x^2 - x -1=0$. Por lo tanto, si $n$ raro entonces $\phi^n - \phi^{-n}= \phi^n + \left(-\frac{1}{\phi}\right)^n=L_n$, mientras que si $n$ incluso entonces $\phi^n - \phi^{-n} = \phi^n - \left(-\frac{1}{\phi}\right)^n= F_n \sqrt{5}$ .
Se asume que $n$ es impar. Con el fin de escribir $2\arctan(\phi^n)$ como una combinación de varias de $\arctan$'s de los números racionales, que descomponen la cantidad de $L_n - 2 i$ en los enteros de Gauss. Parece que por $n >5$ la cantidad de $L_n - 2 i$ mantiene la participación de algunos de distintas Gaussiana de los números primos a partir de los anteriores.
Supongamos ahora $n$ es par. Tenemos que descomponer la cantidad de $2 + F_{n} \sqrt{-5}$ en algunos productos de los elementos. Tenga en cuenta que en el anillo de $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ la descomposición en irreducibles no es el único, así que vamos a tener problemas.
Roger Hoover
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Como resultado preliminar,
$$\frac{(1+i\phi)^7(1+i\phi^3)^2}{(1+i\phi^5)}=(-5+10i)(7+3\sqrt{5})\etiqueta{1}$$ da, el cambio a los argumentos, $$ 7\arctan\phi+2\arctan\phi^3-\arctan\phi^5 = 3\pi\arctan 2. \etiqueta{2} $$ De la misma manera, $$ 7\arctan\phi^{-1}+2\arctan\phi^{-3}-\arctan\phi^{-5} = \pi+\arctan 2. \etiqueta{3} $$
Con el fin de lidiar con el cuadrado de la arcotangente con Parseval-como técnicas, puede ser útil recordar que la transformada de Fourier de la función arcotangente es dada por $i\sqrt{\frac{\pi}{2}}\frac{e^{-|s|}}{s}$. Seguir trabajando.
