Sé que $\mathbb{R}^2$ con la oficina de correos métrica no es separable. Y la oficina de correos métrica se define por $m(x,y) = d(x,0) + d(y,0)$ para los distintos puntos de $x$$y$, e $m(x,x) = 0$ donde $d$ es la métrica en $\mathbb{R}^2$.
Mi idea para la prueba: Para cada $x \in \mathbb R^2$ podemos encontrar una $r_x$ tal que $x$ es separado de otros elementos de $\mathbb R^2$ (por ejemplo, si $r_x = d(x,0)$). Y para un $D$ que es denso en $\mathbb R^2$ podemos encontrar una $y \in D$ st $y \in B(x,r_x)$. Entonces, podemos coincidir con cada una de las $x \in \mathbb R^2$$y \in D$. Y desde $\mathbb R^2$ es incontable, $D$ también es incontable. Por lo tanto, $\mathbb R^2$ es no separable, ya que cualquier denso en el conjunto que es incontable.
Es mi prueba correcta? No estoy seguro desde $r_x$ depende de $x$.
