Estoy tratando de demostrar que si el anillo de $R$ es Noetherian, a continuación, cada finitely generadas $R$-módulo es Noetherian.
Primero de todo, es sabido que cada módulo es una imagen homomórfica de un módulo, así que podemos aprovechar $R$ como un módulo más de sí, y entonces tendremos un homomorphism $f:R \rightarrow M$ donde $M$ es arbitraria en el módulo. Luego, de acuerdo con el conocido teorema de, $$\operatorname{Im}(f) \cong \frac{R}{\ker(f)},$$ y $\frac{R}{\ker(f)}$ es Noetherian porque $R$ es Noetherian (podemos tomar el conjunto finito de generadores para algunos submódulo en $R$ y, a continuación, su canónica de la imagen en $\frac{R}{\ker(f)}$ genera submódulo allí). Por lo tanto, $\operatorname{Im}(f)$ es Noetherian así, sino $\operatorname{Im}(f) \subseteq M$. Entonces, ¿cómo se podría decir lo mismo acerca de todo el módulo de $M$?
