Cómo expresar un operador hamiltoniano como una matriz

Question

Supongamos que tenemos un hamiltoniano en $\mathbb{C}^2$ $$H=\hbar(W+\sqrt2(A^{\dagger}+A))$$ También sabemos que $AA^{\dagger}=A^{\dagger}A-1$ y $A^2=0$ , dejando que $W=A^{\dagger}A$

¿Cómo podemos expresar $H$ como $H=\hbar \Big(\begin{matrix} 0 & \sqrt2 \\ \sqrt2 & 1 \end{matrix} \Big)$

Hasta ahora he demostrado que si consideramos los valores propios de $W$ , $$W|\psi \rangle=w|\psi \rangle$$ Esto implica que $A|\psi \rangle$ y $A^{\dagger}|\psi \rangle$ son también vectores propios de $W$ con valor propio $1-w$ . Utilizando $A^2=0$ encontramos que $w=0$ o $1$

No estoy del todo seguro de cómo se expresan los operadores como matrices, ya que la mayor parte de mi curso ha sido utilizando la notación de función de onda, realmente agradecería si alguien pudiera explicar los siguientes pasos aquí sólo para que pueda tener una comprensión más rigurosa de la misma.

Answer 1

Como ha señalado @MichaelBrown en la respuesta, para obtener el elemento de la matriz basta con intercalar el operador entre dos estados. Así que en el caso de tu hamiltoniano $H$ los elementos de la matriz son los siguientes $$H_{ij} = \langle i|H|j \rangle $$

Debo señalar que el $i$ que utilices debe ser el conjunto de bases en el que te encuentres. Si tienes un estado $\psi$ , entonces si $$|\psi \rangle = \sum_{i} c_i|i\rangle $$ sólo que puede expresar los elementos de la matriz de su operador de esta manera. Si intercala el operador entre el propio estado, terminará con la expectativa del estado. $$\langle H \rangle = \langle\psi |H| \psi\rangle $$

Answer 2

El elemento de la matriz $O_{ij}$ de un operador se definen por $$O_{ij} = \langle i | \hat{O} | j \rangle,$$ y es tradicional que el $i$ El índice etiqueta la fila y $j$ etiqueta la columna. De este modo, la multiplicación de matrices funciona como es de esperar: $$ (O P)_{ij} = \sum_k O_{ik} P_{kj}, $$ que puedes mostrar insertando un conjunto completo de estados.