Una simple pregunta sobre los grupos de Galois

Question

Al hablar de extensiones de campo de grado dos entiendo los automorfismos en el grupo de Galois intuitivamente como análogos a la conjugación compleja. Pierdo la comprensión cuando paso a extensiones de campo generadas por cúbicos.

Supongamos que tenemos raíces $a_1, a_2, a_3$ para que $K=F(a_1, a_2, a_3)$ . Es posible que $G(K/F)$ para tener el orden 3 aunque haya seis permutaciones posibles de estas raíces. Entonces, ¿a dónde fueron las otras 3? Veo dos posibilidades:

1. Algunas permutaciones de las raíces no son automorfismos. Esto parece poco probable porque creo que $F(x,y)\cong F(y,x)$ siempre, ¿correcto?
2. Algunas permutaciones son equivalentes. No entiendo cómo puede ser esto.

¿Hay una tercera opción en la que no he pensado? ¿Me he perdido por completo la idea?

Answer 1

La primera opción es la que ocurre. Mientras que $F(x,y) \cong F(y,x)$ el isomorfismo puede no tomar $x$ a $y$ y $y$ a $x$ .

Creo que un ejemplo fácil (con más raíces) es el polinomio $x^4+x^3+x^2+x+1 = (x^5-1)/(x-1)$ . Las raíces son las cuatro potencias no identitarias de $\zeta_5 = \exp(2\pi/5)$ .

Si una permutación envía $\zeta_5$ a $\zeta_5^3$ donde envía $\zeta_5^2$ ? Bueno, como una permutación podría enviarlo a cualquier cosa excepto $\zeta_5^3$ pero como homomorfismo de campo tiene que respetar la multiplicación, por lo que tiene que enviarlo a $(\zeta_5^3)^2 = \zeta_5^6 = \zeta_5$ . En otras palabras, de las tres posibilidades de dónde enviarlo como permutación, sólo una de las tres posibilidades resultó ser un homomorfismo.

Answer 2

Permítanme dar un ejemplo, que aprendí de Toby Gee .

Dejemos que $f(X) = X^3 - 3X + 1$ un polinomio en $\mathbf Q[X]$ . Por el prueba de raíz racional de álgebra de la escuela secundaria, esto no tiene raíces en $\mathbf Q$ y por lo tanto es irreducible. Es fácil comprobar que si $\alpha_1$ es una raíz de $f$ en alguna extensión de $\mathbf Q$ entonces también lo es $\alpha_2 = 1 - 1/\alpha_1$ . Repitiendo esta operación, encontramos la última raíz $\alpha_3 = 1 - 1/\alpha_2 = 1/(1 - \alpha_1)$ .

Vemos que el campo de división $K$ de $f$ es igual a $\mathbf Q(\alpha_1)$ y que mientras el grupo de Galois actúa transitivamente sobre el $\alpha_i$ un automorfismo de la extensión está completamente determinado una vez que hemos elegido la imagen de un $\alpha_1$ ya que las otras dos raíces son expresiones racionales en $\alpha_1$ . Así que no aparecen todas las permutaciones de las raíces y el grupo de Galois es isomorfo a $A_3$ .

Para más información sobre los grupos de Galois de los cúbicos - un criterio sobre el discriminante y muchos ejemplos - lea El folleto de Keith Conrad .

Answer 3

No es una respuesta completa, pero esto podría ayudar: En un sentido más general podemos ver los grupos de Galois de polinomios irreducibles como subgrupos transitivos de $S_n$ donde $n$ es el grado del polinomio. Esta definición diferente probablemente te dará una sensación más intuitiva al respecto: Sea $f$ sea un polinomio irreducible de grado n con coeficientes en algún campo $K$ cuyas raíces son $a_1,..,a_n$ entonces el grupo de Galois $G$ consiste en aquellas permutaciones que preservan las relaciones entre ellas, es decir, G es el conjunto de todas aquellas permutaciones σ de los símbolos $1,..,n$ tal que $\phi(a_{σ(1)},..,a_{σ(n)})=0$ por cada $n$ polinomio variable $\phi$ para lo cual $\phi(a_1,..a_n)=0$ .