Es $f(x) = x/x$ lo mismo que $f(x) = 1$ ?

Question

Dejemos que $f(x) = \frac{x}{x}$ .

¿Es correcto decir que $f(x) \ne 1$ ya que $f(x)$ tiene una discontinuidad en $x=0$ ?

Answer 1

Depende del dominio de $f$ y $1$ . Si estos son $\Bbb R\setminus\{0\}$ y $\Bbb R$ respectivamente, desde una perspectiva formal las funciones no serán iguales. Restringido a un dominio $S \subseteq \Bbb R$ donde ambos están bien definidos (es decir, no contienen $0$ ), son iguales.

Answer 2

Una función dada siempre viene con un dominio. Para que dos funciones sean iguales (en un sentido formal) los dominios tienen que ser iguales.

Por ejemplo, considere las funciones: $$ f: \mathbb{R} \to [0,\infty) $$ dado por $$ f(x) = x^2 $$ y la función $$ g: [0,\infty) \to [0,\infty) $$ dado por $$ g(x) = x^2. $$ Estas dos funciones no son iguales aunque estén dadas por la misma expresión. Observe, por ejemplo, que $g$ es uno a uno (inyectivo), mientras que $f$ no lo es. (Si las funciones fueran las mismas, se podría pensar que deberían tener exactamente las mismas propiedades).

Ahora bien, a menudo no especificamos el dominio. Sólo hablamos de la función definida por (digamos) $h(x) = \frac{1}{x}$ . En este caso solemos suponer que el dominio es el conjunto de todos los $x$ para los que la expresión tiene sentido. Por lo tanto, el dominio de $h$ es $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ .

Ahora bien, cuando escribes $f(x) = \frac{x}{x}$ entonces yo diría que el dominio es $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ porque no puedo evaluar la expresión en $0$ . El dominio de la función $g(x) = 1$ son todos números reales. Por lo tanto, no podríamos decir que las funciones son iguales.

Tenga en cuenta también que para cancelar $x$ en la expresión $\frac{x}{x}$ , $x$ tendría que ser distinto de cero.

Edición: Sobre el argumento de la discontinuidad, me he dado cuenta de que en los comentarios a tus preguntas la gente dice que "discontinuo" no significa "no continuo". No estoy seguro de que sea una noción universalmente aceptada. Según Wikipedia : "Si una función no es continua en un punto de su dominio, se dice que allí tiene una discontinuidad". Así que la Wikipedia parece estar de acuerdo con los comentarios. Según Wolfram MathWorld : discontinuo significa no continuo. En cualquier caso, tienes razón al observar que las funciones no son iguales porque la función $f(x) = \frac{x}{x}$ no es continua en $0$ .

Answer 3

Exactamente, $f$ es el constante $1$ en su dominio $\Bbb R\setminus\{0\}$ .