Grados de etale cubre de pilas

Question

Esta es, probablemente, bastante básico, pero como he dicho antes yo estoy empezando mi camino en el lenguaje de las pilas.

Dicen que usted tiene un etale cubierta X->Y de las pilas (en el etale sitio). Hay una manera estándar para definir el grado de esta portada? Aquí está mi intuición: si X e y son los esquemas, podemos ver etale localmente y, a continuación, esta cubierta es Yoneda trivial en el sentido de http://front.math.ucdavis.edu/0902.3464 , lo que significa que etale localmente es sólo una discontinuo sindicatos de (d muchas) panqueques. Podemos hacer esto en general? Hay algunos "conectividad" condiciones Y para que esto funcione? Existe una definición válida para el grado de una etale de la cubierta de las pilas?

Yoneda-Trivialidad

Pensé que ya nadie respondió, así que ahora, tal vez debería escribir lo que un posible Yoneda-trivialidad condición podría significar para las pilas:

Def: Llamar f:X->Y (pilas) Yoneda trivial si existe un conjunto de secciones de f, S, de tal manera que el natural mapa Y(Z)xS->X(Z) es un isomorfismo (o tal vez un bijection?) conectado esquema de la a a la Z.

Pero estoy todavía se aferran a la esperanza de que hay una completamente diferente de la definición de ahí que no soy consciente de.

Answer 1

Hacer un cambio de base $f':Y'\to Y$, de modo que $f':X'=X\times_Y Y' \to Y'$ es una de morfismos de esquemas. La que debería ser posible si $f:X\to Y$ es representable. A continuación, defina $\deg(f):=\deg(f')$.

La mayoría, si no todas, de las propiedades de las pilas y morfismos entre ellos se definen por descendencia, es decir, al hacer un cambio de base a los planes. Si la propiedad (P) es estable por más cambios de base, que puede ser definido de esta manera, y es independiente de la de cambio de base de a $Y'\to Y$.

En su caso, usted debe preguntar: es el grado de una etale de morfismos de esquemas bien definidos? Es bien definido localmente en la base, pero no a nivel mundial (lo si $Y$ está desconectado?). Así que claramente necesita un par de naturales supuestos en $X\to Y$.

Answer 2

Existe una noción de grado de una integral de morfismos de DM pilas, y creo que es en la Vistoli la "Intersección de la teoría ..." papel aquí. Su ajenos a Yoneda, la trivialidad.

Answer 3

La cuestión depende de los mapas que desea llamar "etale". Si uno piensa que la propiedad de $f:X \to Y$ etale debe ser etale local en $X,$ luego etale morfismos no necesita ser representable; por ejemplo, $BG \to pt$ es etale y épica, si $G$ es un grupo finito, y su grado es....$1/|G|?$ De todos modos, usted puede gobernar por siempre considerando representable etale surjections.

También, supongo que grado debe ser mejor definido para representable finito etale cubiertas, en lugar de sólo representable etale surjections. Imaginar la inconexión de la unión de dos conjuntos que abarcan un espacio: el grado más su solapamiento es de 2, y 1 en otro lugar. Esto no es localmente constante de la función en el espacio.