Desconcertado por la construcción de "grupo de extensión" $\{G, T\}$ en Herstein "Temas de Álgebra"

Question

En la página 69 de mi (antigua) copia de sus Temas de Álgebra, I. N. Herstein describe un desconcertante de la construcción a modo de ejemplo, y pasa sin más comentarios (por lo que vale, se nota que Herstein se aplica automorfismos "a la derecha"; es decir, su $xT$ es lo que otros escriben como $Tx$$T(x)$):

Por lo general, si $G$ es un grupo, $T$ un automorphism de orden $r$ $G$ que no es un interior automorphism, elija un símbolo de $x$ y considerar todos los elementos $x^ig$, $i = 0, \pm 1, \pm 2,\dots,\; g\in G$ sujeto a $x^i g = x^{i^{\,\prime}}\!\!g^{\,\prime}$ si y sólo si $i \equiv i^{\,\prime} \!\!\! \mod r, g = g^{\,\prime}$ $x^{-1}g^i x = g\,T^i$ todos los $i$. De esta forma obtenemos un grupo más grande $\{G, T\}$; $G$ es normal en $\{G, T\}$ $\{G, T\}/G\approx$ grupo generado por $T=$ grupo cíclico de orden $r$.

OK, voy a conseguir (aunque apenas) que esta $\{G, T\}$ es un grupo, etc., pero ¿cuál es el punto?

Recuerdo que siendo igualmente desconcertado, hace mucho tiempo, cuando vine por primera vez a través de la construcción de un cociente de grupo. Ahora, con mucha más exposición a este tipo de cosas bajo mi cinturón, no es una desconcertante concepto... Así que, a partir de esta experiencia, ahora me pregunto si la construcción anterior se señala en algunos caballo de batalla de maniobra en el álgebra. Es que sólo algunos idiosincrásicos hipo del autor, que puede omitirse? O es que vale la pena mi tiempo para tratar de entenderlo mejor? Y si es así, ¿cómo? Al aprender acerca de cociente grupos, que fue muy útil para mí ver cómo cociente grupos generalizada la idea de una proyección de espacio vectorial sobre un subespacio. Es allí una manera similar iluminando ilustración de lo que la construcción de arriba es el objetivo?

Answer 1

El grupo $\{G,T\}$ construido anteriormente se llama la semidirect producto de $G$$\langle T \rangle$, denotado $G \rtimes C_r$. En el ejemplo dado en el texto, empezando con un automorphism de $C_7$ a de orden 3, un nonabelian grupo de la orden de 21 se construye, y este grupo es el semidirect producto $C_7 \rtimes C_3$.

Semidirect productos son una generalización directa de productos, pero a diferencia de con el producto directo, en un semidirect producto sólo uno de los dos factores es necesaria para ser un subgrupo normal. Semidirect productos son un buen camino para la construcción de nonabelian grupos. Un ejemplo de un grupo que puede ser descrito como un semidirect producto, pero no como un producto directo del (de los dos grupos más pequeños) es el diedro grupo $D_6$ ( $S_3$ ), que puede ser descrito como $C_3 \rtimes C_2$. (Si $D_6$ fueron también un producto directo, los dos factores tienen que ser abelian, lo que significa que $D_6$ también sería abelian, una contradicción.)

Usted puede aprender acerca de semidirect productos en el álgebra de texto por Dummit y Foote.

Answer 2

Para conseguir una sensación para el grupo de extensiones, la comprensión de la semidirect producto es sin duda una parte. Si además, permite también entender la corona de producto, usted está preparado para el Kaloujnine-Krasner Teorema, que cubra por lo menos una parte de la "historia".

Pero la "historia" puede inducir a error si usted no conoce el concepto de una central de extensión, como se ilustra por el grupo de cuaterniones. Esto muestra una conexión a un cohomology grupo. Todavía no he conseguido "plenamente" entender grupo cohomology, pero creo que es importante darse cuenta de que "plenamente" la comprensión de que el grupo problema con la extensión también requieren de una buena cantidad de comprensión de grupo cohomology.