Interpretación de las condiciones de contorno en el tiempo independiente de la ecuación de Schrödinger

Question

El tiempo independiente de la ecuación de Schrödinger:

$$\ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2} + V\psi = E\psi$$

es de segundo orden, por lo que debemos esperar la solución para tener dos "grados de libertad", que puede ser corregido mediante la especificación de las condiciones de contorno. Sin embargo, al menos en algunos casos, la imposición de la función de onda de normalización requisito determina esas condiciones.

Por ejemplo, el infinito plaza bien el potencial que tiene la solución general $A\sin(kx) + B\cos(kx)$. La constante k está determinado por el ancho del pozo, por lo que tenemos que elegir dos valores (a y B), como se esperaba. Sin embargo la continuidad requiere que B = 0, y la normalización requisito termina fijando el valor de A.

El oscilador armónico cuántico termina del mismo modo: la solución general tiene una duración que va de $Ae^{-x^2}$ y otro que va como $Be^{x^2}$, pero la normalización requisito de fuerzas B a 0 y en última instancia determina A.

Mis preguntas:

1. ¿Qué interpretación física podemos asignar a la elección de las condiciones de contorno para el tiempo independiente de la ecuación de Schrödinger? No hay nada como la "posición inicial y la velocidad de" la interpretación de la segunda ley de Newton?

2. ¿Bajo qué circunstancias se hace la imposición de la función de onda de normalización requisito de determinar las condiciones de frontera?

Answer 1

En los ejemplos que has dado, las condiciones de frontera decir simplemente "no tiene energía infinita" y "no ser no normalizable". Estos no tienen una interpretación física.

Por otra parte, las condiciones de contorno vez tiene una interpretación como la "posición inicial y la velocidad", porque el tiempo independiente de la ecuación de Schrödinger describe los estados estacionarios. No hay tiempo de evolución sucediendo en estos estados, por lo que una condición inicial no tiene sentido!

Sin embargo, si se soluciona el tiempo independiente de la ecuación de Schrödinger con un potencial de $V(x)$ que hace no ir a la infinidad $x$ va al infinito, entonces usted obtener soluciones de $\psi(x)$ que no están enlazados a los estados: de que vas a tener algunos complicado comportamiento dentro de la potencial y, a continuación, busque como $e^{ikx}$ en el infinito. La imposición de la condición de frontera "parezca $e^{ipx}$ al infinito" físicamente significa que usted desee considerar la dispersión de partículas con entrantes impulso $k = p$.

Answer 2

1. La elección de las condiciones de contorno corrige el dominio y por lo tanto un auto-adjunto de extensión de su operador de Schroedinger $$-\frac{\hbar^2}{2m} \Delta + V\:.$$ In turn, this choice determines the spectrum of that operator, i.e., the eigenvalues $E$. (No hay ninguna analogía con las condiciones iniciales aquí).

2. Ninguna circunstancia! Las condiciones de contorno son no correlacionados con la normalización como se acaba de definir un subespacio del espacio de Hilbert, el dominio del operador anterior, y si $\psi$ pertenece a las que el subespacio también se $c\psi$ lo hace para cada $c\in \mathbb C$.

Answer 3

Por lo que yo sé, y yo sólo soy un estudiante de licenciatura, las condiciones de contorno en ecuaciones de Schrödinger se sujetan algunos especiales subespacio del espacio de Hilbert del sistema o el espacio de Hilbert como un todo.

Enlazados a los estados, por ejemplo, forman un subespacio del espacio de Hilbert. La condición de contorno para que es ese $\psi\sim e^{-r}$ en el infinito, por cada vez.

La dispersión de los estados, son paquetes de onda que a $t=\pm\infty$ se comportan como un paquete de ondas (conseguir involucrar en el tiempo por $\frac{-\hbar ^2}{2m}\nabla ^2$ en lugar de $H$).

Resulta que la energía autoestados, soluciones de la época independiente de ecuaciones de Schrödinger, siempre están enlazados a los estados. Esto es así porque el plano de las ondas no puede ser normalizado - pero siempre se puede construir paquetes de onda de ondas planas - . Esta onda de los paquetes de la dispersión de los estados. Se puede considerar a veces un estado como $|k\rangle$ para una onda plana y para fines prácticos de este trabajo bien todo el tiempo. Pero, algunas veces, como la prueba de la Lippmann-Schwinger teorema, las cosas se ponen pequeño truco, y es bueno recordar estas cosas de los paquetes de onda.

Por el tiempo independiente de la ecuación de Schrödinger, la condición de frontera podría ser simple el requisito de que las funciones de onda puede ser normalizada. Esta es una característica especial de el tiempo independiente de la ecuación. La explicación física es simple: los autoestados que están delimitadas son los únicos estados que es independiente del tiempo (la fase) y puede ser normalizada. Otros normalizable estado que no está delimitada es necesariamente dependiente del tiempo, debido a que se necesita para ser un paquete de ondas para ser normalizable, ondas planas no lo son.

La cuantización de la energía en los límites de los estados proviene de las condiciones de frontera de la ecuación de Schrödinger. La condición de contorno impone que algunos números deben ser cuantificada como el momento angular y de la energía. La energía, es debido al hecho de que la función de onda está delimitado en el espacio y el ángulo de mometum es debido simetrías del espacio.

En realidad, esta es la naturaleza de la cuantización en cantidades físicas. El hecho de que una partícula, o algo, está localizada en algún región finita suficientemente estrecho, la interferencia en las amplitudes de probabilidad es importante y habrá sólo algunos estados estacionarios para este interferencias.