¿Se utilizaban los "números reales" antes de que aparecieran cosas como los cortes de Dedekind, las secuencias de Cauchy, etc.?

Question

Sólo la pregunta del título, estoy tratando de entender cómo algo como el análisis podría desarrollarse sin construcciones formales de los números reales.

También me interesa mucho, si la respuesta es "sí", saber qué era lo que la gente pensaba que era un "número real" en aquella época.

Answer 1

Véase por ejemplo

• Leonard Euler, Elementos de álgebra (3ª ed. - trad. inglesa de John Hewlett , 1822), páginas 1-2 :

ARTÍCULO I

Todo lo que es capaz de aumentar o disminuir, se llama magnitud o cantidad .

[...] §4 . la determinación, o la medida de la magnitud de todas las clases, se reduce a esto: fijarse a placer en cualquier magnitud conocida de la misma especie con la que se va a determinar, y considerarla como la medir o unidad ; a continuación, determinar la proporción de la magnitud propuesta con respecto a esta medida conocida. Esta proporción se expresa siempre por medio de números; de modo que un número no es más que la proporción de una magnitud a otra asumida arbitrariamente como unidad.

§5 . De esto se desprende que todas las magnitudes pueden ser expresadas por números; y que la base de todas las Ciencias Matemáticas debe establecerse en un tratado completo sobre la ciencia de los Números, y en un examen preciso de los diferentes métodos de cálculo posibles. Esta parte fundamental de las matemáticas se llama Análisis, o Álgebra.

Y página 39 :

§128 . Hay, pues, una clase de números que no pueden asignarse por fracciones, pero que son, sin embargo, cantidades determinadas; como, por ejemplo, la raíz cuadrada de $12$ y llamamos a esta nueva especie de números, números irracionales . Se producen siempre que se intenta hallar la raíz cuadrada de un número que no es un cuadrado; así, $2$ al no ser un cuadrado perfecto, la raíz cuadrada de $2$ o el número que, multiplicado por sí mismo, produciría $2$ es una cantidad irracional. Estos números también se llaman Cantidades de surd o inconmensurable .

Answer 2

Sí, los matemáticos utilizaron el concepto de número real mucho antes de que surgieran definiciones rigurosas, al igual que los matemáticos utilizaron el concepto de número complejo antes de que se describiera el plano de argand, la función delta de dirac se utilizó antes de que se hiciera rigurosa, etc. La intuición surge casi siempre antes que el rigor.

En los tiempos modernos, el estilo se ha convertido en modelar cada disciplina matemática como un campo de la teoría de conjuntos. Antes de finales del siglo XIX, los conjuntos eran prácticamente inexistentes. Newton no podría haber dado con los cortes de dedekind, las secuencias de cauchy, etc., ya que se requiere cierta intuición sobre la teoría de conjuntos para interpretar estos resultados. Si se fuera riguroso, se procedería mediante un sistema de axiomas al estilo de Euclides (aunque no un sistema tan riguroso como los de la lógica matemática actual).

Todas las construcciones de los números reales anteriores pretenden construir una compleción'' de la recta racional $\mathbf{Q}$ . La mayoría de las veces, probamos cosas sobre $\mathbf{R}$ a partir de los axiomas del campo abstracto, con un axioma de completitud incluido (principio de límite superior mínimo, etc.). Así que Newton podría haber procedido por esta vía, pero si miramos la obra de Newton no encontramos este estilo de axiomática. La mayoría de las pruebas de Newton no son analíticas, no implican números. Si leemos los Principia, encontraremos que la mayoría de las pruebas proceden de diagramas geométricos, como los griegos. El método principal de Newton es tratar los diagramas como infinitisimales, utilizando la intuición para obtener los resultados sobre los límites de los diagramas (por ejemplo, si tomamos una línea entre dos puntos de un círculo, entonces cuando se toman como infinitisimales la línea es perpendicular al círculo. En geometría, se utiliza mucho más la intuición que el rigor. En particular, imagino que en algún momento de los principia Newton aplica (vía intuición) una forma geométrica disfrazada del teorema del valor intermedio -un teorema que, si se toma axiomáticamente, implica la completitud de los números reales, y por tanto implica que Newton realmente está usando los reales. Este teorema es "obvio" para los no iniciados, pero en los cursos de introducción al análisis se descubre que la idea es mucho más sutil. Hay que recordar que para que este tipo de principios sean escudriñados, se necesitan paradojas que desafíen el pensamiento, que las curvas de llenado de espacio y las funciones no diferenciables en ninguna parte proporcionan en cantidad.

Por supuesto, en aquella época todavía había controversia. El filósofo George Berkeley, en particular, criticó el método:

En efecto, hay que reconocer que [Newton] utilizó los Fluxiones, como el Andamio de un edificio, como cosas que había que dejar de lado o deshacerse de ellas, tan pronto como se encontraran Líneas finitas proporcionales a ellas. Pero entonces estos Exponentes finitos se encuentran con la ayuda de los Fluxiones. Por lo tanto, todo lo que se obtiene por tales Exponentes y Proporciones debe ser atribuido a Fluxiones: que por lo tanto debe ser entendido previamente. ¿Y qué son estos Fluxiones? ¿Las velocidades de los incrementos evanescentes? ¿Y qué son estos mismos incrementos evanescentes? No son ni Cantidades finitas ni Cantidades infinitamente pequeñas, ni tampoco nada. ¿No podemos llamarlos los Fantasmas de las Cantidades que se han ido?

No obstante, los resultados obtenidos por Newton fueron correctos, por lo que no hubo demasiada reacción.

Answer 3

El historia de las matemáticas es un tema enorme con una gran bibliografía. En las antiguas matemáticas griegas, lo que llamaríamos números se denominaba magnitudes y representaba cantidades continuas como longitudes, áreas y magnitudes. La teoría de las proporciones en el libro 5 de Los elementos de Euclides es especialmente relevante, por ejemplo, véase ¿Cómo entender mejor la definición de Euclides de las proporciones iguales? ¿Cómo se relaciona con los cortes de Dedekind? Uno de mis favoritos es Propuesta 2 del Libro 10 que da uno de los métodos que los griegos utilizaban para demostrar que ciertos números son irracionales: a grandes rasgos se aplica el algoritmo de Euclides para tratar de encontrar un máximo común divisor de magnitudes dadas $x$ y $y$ y si no termina $x/y$ es irracional. (Esto lleva a pruebas geométricas muy bonitas de la irracionalidad de las surdas cuadráticas como $\sqrt{2}$ .)

Tal vez convenga señalar también que Euclides escribía el equivalente a un libro de texto para estudiantes varios siglos después de Pitágoras. Resultados como algunos de los obtenidos por Arquímedes utilizando el sistema de Eudoxus método de agotamiento (un método de cálculo de áreas y volúmenes) no están en los Elementos.

Otras respuestas a su pregunta se refieren a lo que ocurrió en los dos milenios siguientes. Prácticamente todos los matemáticos occidentales hasta mediados del siglo XX habrán tenido los Elementos de Euclides como su primer libro de texto de matemáticas.

Answer 4

Sí, los utilizaban, aunque los matemáticos nunca supieron realmente en aquella época "qué eran". En general, se entendía que eran aquellos números que podían ser valores de cantidades físicas (como el tiempo, la longitud, la energía, la velocidad, etc.).

Nótese, sin embargo, que en los tiempos realmente lejanos (contemporáneos a Platón, digamos), los griegos seguían perplejos por la existencia de los números irracionales (sabían que la relación entre la diagonal de un cuadrado y su arista no era racional -lo que hoy llamamos $\sqrt 2$ ). La humanidad tardó en "tragarse" los números irracionales...

Como nota al margen, para entender lo confusas que estaban incluso las más grandes mentes matemáticas de la época (con respecto a las cuestiones fundacionales), nótese que Gauss llamó una vez al número imaginario $\rm i$ "vera umbrae umbra" ("una verdadera sombra de sombras", es decir, algo sin existencia propia), y a Euler le extrañó que si sustituye $x$ por $2$ en la igualdad (formal) $\dfrac 1 {1-x} = \sum \limits _{n = 0} ^\infty x^n$ obtuvo un número negativo igual a uno positivo infinito...

Answer 5

Simon Stevin utilizó los decimales sin fin para representar todos los números (sean racionales o no) ya a finales del siglo XVI. En el siglo XVII, Descartes parece haber sido el primero en utilizar el término real para describir los números ordinarios.

Dado que los decimales sin fin proporcionan una explicación satisfactoria de los números reales, éstos deben atribuirse a Stevin y no a Cantor o a Dedekind. En particular, muchos autores desde Stevin han utilizado estos números "ordinarios" para demostrar teoremas sin esperar los desarrollos más abstractos del último tercio del siglo XIX.

En particular, Cauchy proporcionó una demostración satisfactoria del teorema del valor intermedio mucho antes que Cantor. La existencia de la raíz se deduce simplemente construyendo un decimal sin fin.