Explicando Hypercomplex números a los Niños.

Question

Imagina un estudiante de primer año de secundaria se acerca a usted y le pide que lo hypercomplex números. Explicar a ella, en una buena cantidad de detalle, los diferentes tipos de hypercomplex números de una manera que cualquier persona puede entender.

Esto era algo que me preguntó por uno de mis amigos. No sé qué Hypercomplex números son lo suficientemente bien como para explicarlo. Tampoco mi amigo y esa es la razón por la que le pedí a mi esa pregunta. Wikipedia y otros recursos han sido bastante ineficaz a la hora de entregar incluso la idea de que a nosotros.

Somos curiosos a lo que esta extensión es, básicamente. ¿Puede por favor explicar esto a nosotros?
_{^{Un simple vistazo de lo que es posible que suficiente.}}

Answer 1

Hay alguna historia detrás de este.

En el principio fue la ${\mathbb N}=\{1,2,3,\ldots\}$, con $+$, $\cdot$, y $<\>$.

Ciertas ecuaciones simples de la forma $a+x=b$ no podía ser resuelto en ${\mathbb N}$, así que inventaron ${\mathbb Z}$ contenido $0$ y los números negativos.

Ciertas ecuaciones simples de la forma $ax+b=c$ no podía ser resuelto en ${\mathbb Z}$, así que inventaron ${\mathbb Q}$.

Ciertas ecuaciones simples como $x^2=2$ no podía ser resuelto en ${\mathbb Q}$, ni tampoco hubo un representante para la zona de una unidad de disco. Así que inventaron ${\mathbb R}$.

Ciertas ecuaciones simples como $x^2+1=0$ no podía ser resuelto en ${\mathbb R}$, así que inventaron ${\mathbb C}$, el sistema de los números complejos. Cada número complejo se puede escribir en la forma $x\>1+y\>i$ real $x$, $y$ y un especial número complejo llamado $i$.

Hamilton intentó en vena de establecer un "hypercomplex" número de sistema en el que cada "número" sería de la forma $x\>\vec i+y\>\vec j+z\>\vec k$, donde $\vec i$, $\vec j$, $\vec k$ son los vectores de la base utilizados en la escuela primaria vectoriales álgebra de ${\mathbb R}^3$. Él no tuvo éxito, pero él se dio cuenta de que ese sistema es posible cuando el individuo hypercomplex números son de la forma $t\>1+x\>\vec i+y\>\vec j+z\>\vec k$ con $t$, $x$, $y$, $z$ real, y si las operaciones $+$ $\cdot$ están adecuadamente definidos. De esta manera, el primer verdadero hypercomplex número de sistema, llamado de los cuaterniones, nació. Aparte de la conmutatividad de la multiplicación de todas las "reglas del álgebra" son válidas en este sistema.

Es entonces natural para preguntar, para que las dimensiones de $n$ aparte de $1$, $2$, $4$ un sistema de $S$ con "números" $\sum_{k=1}^n x_k e_k$ donde $\>x_k\in{\mathbb R}$ e las $e_k$ son ciertos números especiales de $S$, se puede configurar de tal manera que uno tiene una adición y una "razonable" la multiplicación en $S$. Es uno de los profundos teoremas de $20^{\rm th}$ matemáticas del siglo que no es sólo un sistema de este tipo, el de Cayley octonions con $n=8$; pero la asociatividad de la multiplicación ya no está presente en este sistema.

Answer 2

Cuaterniones fueron creados por Hamilton en el siglo xix, motivado por razones geométricas. La primera cosa que usted necesita saber antes de tratar de mostrar a alguien el papel de los cuaterniones de las matemáticas es que los números complejos no se han creado debido a que se necesitaba a alguien para solucionar $x^2+1=0$.

Nadie había cuidado de ella, ya que las raíces significaba tocar el $x$-eje. La parábola formada por $y=x^2+1$ no toque el $x$-eje y no hay raíces, muy bien, esto es exactamente lo que vemos. El $\mathbb{C}$ la historia comienza con Bombelli del pensamiento en la fórmula de Cardano para cúbicas. Puedes ver los detalles aquí, el primer capítulo de Visual Análisis Complejo, por Needham.

Después de algunos siglos al acecho, números complejos adquirido un sentido geométrico: la multiplicación de un número $z$ $i$ rote $90^\circ$ hacia la izquierda, $zw$ es visto como una secuencia de dilataciones y rotaciones, todo es de manera concisa explica por $z=a+bi=|z|\left(\cos\left(\theta\right)+i\sin\left(\theta\right)\right)=|z|e^{i\theta}$. Por supuesto, estos descubrimientos fueron históricamente altamente no trivial y el duro-ganado resultado de una gran lucha de personas como Bombelli, Euler, Argand' y Gauss , mientras que tratando de entender estos extraños números. En este punto, el desarrollo de complejo análisis, pruebas del teorema fundamental del álgebra y otro de los descubrimientos de los números complejos no es tan antinatural, después de todo.

Lo que Hamilton estaba tratando de encontrar una extensión de los números complejos mediante la adición de una nueva unidad imaginaria $j$, de tal manera que $i^2=j^2=-1$, pero $i\neq j$. Hay "trinomios" debe describir el $\text{3D}$ espacio por el mismo medio los números complejos describir el avión: por dilataciones y rotaciones. Intentó durante muchos años para construir una constante de álgebra mediante las tres coordenadas del espacio, pero no podía. La razón fundamental es que usted necesita más de tres números para representar estas operaciones en el espacio. Como Needham pone:

Sin embargo, un problema fundamental surge cuando tratamos de representar estas dilative rotaciones de puntos (o vectores) en el espacio. Por analogía con el complejo de la multiplicación, se desea interpretar la ecuación de $Q_1\circ Q_2=Q_3$ diciendo que el dilative de la rotación $Q_1$ mapas el punto de $Q_2$ a punto de $Q_3$. Pero esta interpretación es imposible! La especificación de un punto en el espacio requiere de tres números, pero la especificación de un dilative de rotación requiere cuatro: uno para la expansión, uno para el ángulo de rotación y dos para la dirección del eje de la rotación.

Al pasar de los números reales a los números complejos, pierdes cosas como el orden y en un descuido el uso de raíces y logaritmos, pero ganaremos un impresionante montón de increíbles propiedades: el teorema fundamental del álgebra, análisis complejo, una mejor comprensión o de alimentación de la serie y así sucesivamente. En general, cuando la ampliación de una estructura algebraica, este trade-off que sucede. Llegar a cuaterniones no es diferente: con el fin de describir el espacio, usted debe renunciar conmutatividad de cuaterniones' multiplicación, ya que las rotaciones no son conmutativas en $\text{3D}$.

Cuaterniones son, después de todo, los miembros de la $\text{4D}$ espacio de dilative rotaciones en el $\text{3D}$ espacio. Hamilton hizo un tremendo esfuerzo en la promoción de estos números, pero vectoriales álgebra es a menudo más limpio. Si no me equivoco, las ecuaciones de Maxwell fueron escritas originalmente en engorroso de cuaterniones la notación! Sin embargo, debido a cuaterniones son buenas en la descripción de las rotaciones en $\text{3D}$ y no sufren de problemas como el gimbal lock, que todavía se utilizan hoy en simulaciones por ordenador, junto con los ángulos de Euler y matrices.