Calculando la acción de $S_3$ en $H^n(\mathbb{Z}_3,\mathbb{Z})$

Question

Dejemos que $G=S_3$ y que $H$ sea el Sylow $3$ -subgrupo en $G$ . Si $\mathbb{Z}$ es el módulo trivial, entonces se puede demostrar que

$$H^n(H,\mathbb{Z})=\begin{cases}\mathbb{Z}&n=0\\0&n\text{ odd}\\\mathbb{Z}_3&n\text{ even}\end{cases}$$

Desde $H$ es normal en $G$ , $G$ actúa sobre $H^n(H,\mathbb{Z})$ de la siguiente manera. Sea $g\in G$ y definir $c_g:H\to H$ por $c_g(h)=ghg^{-1}$ . Desde $H^*(-,M)$ es contravariante, obtenemos un isomorfismo $c_g^*:H^n(H,\mathbb{Z})\to H^n(H,\mathbb{Z})$ . Entonces, para $z\in H^n(H,\mathbb{Z})$ , defina $g\cdot z=(c_g^*)^{-1}(z)$ .

Hay otra forma de definir esta acción sobre las cocheras. Si $F\to\mathbb{Z}$ es una resolución proyectiva sobre $\mathbb{Z}G$ y $f\in\operatorname{Hom}_H(F,\mathbb{Z})$ entonces el $G$ La acción sobre la cohomología es inducida por la acción $(g\cdot f)(x)=gf(g^{-1}x)=f(g^{-1}x)$ (nótese que la acción sobre $\mathbb{Z}$ es trivial).

Estoy tratando de calcular explícitamente la acción de $G$ en $H^n(H,\mathbb{Z})$ . Esta pregunta aborda mi objetivo final, que es calcular la cohomología integral de $G$ pero la respuesta dada se salta lo que he preguntado aquí (responde a mi pregunta haciendo referencia a un misterioso ejercicio AE.9, que no encuentro en Brown).

¿Puede alguien mostrarme cómo $G$ actúa sobre $H^n(H,\mathbb{Z})$ ¿aplicando alguna de las definiciones anteriores (o ambas)?

Answer 1

Un elemento no nulo de $H^2(H,\mathbb Z)$ es la clase $\alpha$ de la extensión no dividida de $H$ por $\mathbb Z$ $$0\to\mathbb Z\to\mathbb Z\xrightarrow f\mathbb Z/3\to0$$ con $f(1)=1+3\mathbb Z$ . Utilizando esencialmente la primera descripción de la acción (es decir, una construcción pullback), se puede comprobar que las transposiciones de $S_3$ actuar sobre esta extensión convirtiéndola en la extensión con mapa $1\mapsto 2+3\mathbb Z$ .

Esto significa que las transposiciones actúan como $-1$ en $H^2$ .

Como se ha señalado anteriormente, se obtiene la acción sobre el conjunto de la cohomología porque $H^\bullet$ es (casi) un álgebra polinómica generada por la clase $\alpha$ de la extensión anterior. En efecto, tenemos $H^\bullet(H,\mathbb Z)=\mathbb Z[\alpha]/(3\alpha)$ como un anillo y la acción de $S_3$ respeta la estructura del anillo.