Quiero calcular el límite de: $\lim_{x \to 0} \left(\frac{2^x+8^x}{2} \right)^\frac{1}{x}$

Question

Quiero calcular el límite de: $$\lim_{x \to 0} \left(\frac{2^x+8^x}{2} \right)^\frac{1}{x}$$ o probar que no existe. Ahora sé que el resultado es $4$, pero estoy teniendo problemas para llegar a ella. Cualquier idea será muy apreciada.

Answer 1

En primer lugar, considerar el límite del logaritmo de la función:

$\lim_{x \to 0} \frac{\ln \left( \frac{2^x + 8^x}{2} \right)}{x}$

Esto es en la forma indeterminada $\frac{0}{0}$, así que trate de L'Hospital de la regla.

$\lim_{x \to 0} \frac{2}{2^x + 8^x} \left( \frac{2^x \ln 2 + 8^x \cdot 3 \ln 2}{2} \right) = \ln 4$

El uso de la continuidad de la función exponencial, se obtiene el límite original es 4.

Answer 2

De manera más general, para$a>0$$b>0$, $$\lim_{x\to0}\frac{1}{x}\log\frac{a^x+b^x}{2}= \lim_{x\to0}\frac{\log(a^x+b^x)-\log 2}{x}$$ es la derivada en $0$ de la función de $f(x)=\log(a^x+b^x)$. Desde $$f'(x)=\frac{a^x\log a+b^x\log b}{a^x+b^x}$$ tenemos $$f'(0)=\frac{\log a+\log b}{2}=\log\sqrt{ab}$$ Así $$\lim_{x\to0}\left(\frac{a^x+b^x}{2}\right)^{1/x}= e^{\log\sqrt{ab}}=\sqrt{ab}$$

Usted puede disfrutar de demostrar que $$\lim_{x\to\infty}\left(\frac{a^x+b^x}{2}\right)^{1/x}=\max(a,b)$$

Answer 3

Aviso, $$\lim_{x\to 0}\left(\frac{2^x+8^x}{2}\right)^{1/x}$$ $$=\lim_{x\to 0}\left(\frac{2^x+2^{3x}}{2}\right)^{1/x}$$

$$=\lim_{x\to 0}\exp\frac{1}{x}\ln\left(\frac{2^x+2^{3x}}{2}\right)$$ La aplicación de L'hospital de la regla de $\frac 00$ formulario $$=\lim_{x\to 0}\exp\frac{\frac{d}{dx}\ln\left(\frac{2^x+ 2^{3x}}{2}\right)}{\frac{d}{dx}(x)}$$

$$=\lim_{x\to 0}\exp\frac{\frac{1}{\left(\frac{2^x+2^{3x}}{2}\right)}\left(\frac{2^x\ln 2+3\cdot 2^{3x}\ln 2}{2}\right)}{1}$$

$$=\exp\frac{\left(\frac{2^0\ln 2+3\cdot 2^{0}\ln 2}{2}\right)}{\left(\frac{2^0+2^{0}}{2}\right)}=e^{2\ln 2}=2^2=\color{red}{4}$$

Answer 4

Deje $f(x) = \left(\frac{2^x+8^x}{2} \right)^\frac{1}{x}$. Para $x \to 0$, Tenemos $$\begin{align*} \log f(x) &= \frac{1}{x} \log \left[ \frac{1}{2}\left(e^{x \log 2} + e^{x \log 8}\right) \right] \\ &= \frac{1}{x}\log\left(1 + x \log 4 + o(x)\right) \\ &= \frac{1}{x}\left(x \log 4 + o(x)\right) \\ &= \log 4 + o(1). \end{align*}$$ Por lo tanto $f(x) \to 4$.

Answer 5

Esta solución el uso de expansión de la serie. Cerca de $0$ hemos $$2^x=1+x\log2 +o(x)$$ $$8^x=1+x\log8+o(x)$$ A continuación, aplicar la $\log$ a su límite $$\frac{1}{x}\log \Big( \frac{2^x+8^x}{2}\Big)=\frac{1}{x}\log \Big( 1+x\frac{\log8+\log2}{2}+o(x)\Big)$$ y el uso de $\log(1+x)$ expansión esta es la ecualización. a $$\frac{1}{x} x\frac{\log8+\log2}{2}+o(x)$$ El va a $\frac{\log8+\log2}{2}$ al$x$$0$, por lo tanto el límite original es $$e^{\frac{\log8+\log2}{2}}=4$$