La antiderivada de $\cos^5(x)\sin^5(x)$ - es esto incorrecto?

Question

Me gusta revisar mis respuestas con wolframalpha, y este es uno de tercamente subiendo como falsa cuando se establece igual a su respuesta para la antiderivada, pero no puedo averiguar dónde estoy pasando mal.

El uso de la identidad de $\cos^2x = (1-\sin^2x)$, reescribí la integral como:

$$\int \cos(x)(1-\sin^2x)^2(\sin^5x)\,dx$$

$$u = \sin x\\ du = \cos x\,dx\\ dx = du/\cos x$$

La cancelación de la perdida del coseno, que se convierte en $\int(1-u^2)^2u^5 \, du$

La expansión, es $\int (1-2u^2+u^4)u^5\,du = \int (u^5-2u^7+u^9)\,du$

$$= \frac{\sin^6 x}{6}-\frac{\sin^8 x}{4}+\frac{\sin^{10} x}{10}+C$$

Básicamente, ¿alguien ve un error aquí? Es que hay un error?

Answer 1

También puede grabar en este modo $$\begin{align} \cos^5(x)\sin^5(x)&=\left(\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\right)^5 \left(\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\right)^5\\ &=\left(\frac{e^{2ix}-e^{-2ix}}{4i}\right)^5\\ &=\frac{1}{4^5i}\left(e^{10ix}-5e^{6ix}+10e^{2ix}-10e^{-2ix}+5e^{-6ix}-e^{-10ix}\right)\\ &=\frac{1}{2\cdot4^4}\left(\sin(10x)-5\sin(6x)+10\sin(2x)\right) \end{align}$$

Answer 2

Otro enfoque: $\frac{\sin 2x}2 =\sin x \cos x$ rendimiento:

$$\frac{1}{2^5}\int \sin^5 2x\,dx$$

Dejando $u=2x$ $du=2dx$ y obtenemos:

$$\frac{1}{2^6}\int \sin^5 u\,du$$

Escrito $\sin^5 u = (1-\cos^2 u)^2 \sin u$, y dejando $v=\cos u$, se obtiene:

$$-\frac{1}{2^6}\int (1-v^2)^2 \, dv$$

Esto produce:

$$-\frac{1}{2^6}\left(v-\frac{2}{3}v^3+\frac{1}{5}v^5+C\right)$$

Sustituya en $v=\cos 2x$.