Deje $R$ ser un conmutativo unitario anillo finito de Krull dimensión y deje $x \in R$. Es cierto que $\dim R/(x) \ge \dim R -1$ ?
Respuesta
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Esto no es cierto, incluso si $R$ es Noetherian! Es posible tener un Noetherian anillo de $R$ $x \in R$ un nonunit, de tal manera que $\dim R/(x) = \dim R - 2 < \infty$. La forma más fácil contraejemplo que yo conozco es la siguiente: si $S$ es un Noetherian anillo local, $f \in S$ no es nilpotent nonunit, a continuación, $\dim S_f \le \dim S - 1$ (ya que el único ideal maximal de a $S$ ya no es el primer en $S_f$). Pero $S_f = S[\frac{1}{f}] \cong S[t]/(tf - 1)$, e $\dim S[t] = \dim S + 1$ (desde $S$ es Noetherian), por lo que tomar $R = S[t]$, $x = tf - 1$ da un Noetherian anillo con $\dim R/(x) \le \dim R - 2$ (y la igualdad ocurre si $f$ evita todos los mínimos de los números primos de $S$).
Como un ejemplo claro: el anillo de $R = \mathbb{Z}_{(2)}[t]$ es Noetherian de dimensión $2$, y el elemento $x = 2t - 1$ no es una unidad, sino $R/(x) = \mathbb{Z}_{(2)}[t]/(2t-1) \cong \mathbb{Z}_{(2)}[\frac{1}{2}] \cong \mathbb{Q}$ tiene dimensión $0$.
