Modus Operandi. Fórmulas para el máximo y el mínimo de dos números con a + b y $|a - b|$

Question

Me encontré con el siguiente problema en mi autoestudio del análisis real:

Para cualquier número real $a$ y $b$ , demuestran que $$\max \{a,b \} = \frac{1}{2}(a+b+|a-b|)$$ y $$\min\{a,b \} = \frac{1}{2}(a+b-|a-b|)$$

Así que $a \geq b$ si $a-b \ge0$ y $b \ge a$ si $b-a \ge 0$ . A primera vista, parece una media de distancias. Para el primer caso, vaya al punto $a+b$ , añadir $|a-b|$ y dividir por $2$ . Lo mismo ocurre con el segundo caso.

¿Podría dividirlo en casos y verificar las fórmulas? ¿O es necesario que se inventen las fórmulas?

Answer 1

¿Cómo se te ocurren las fórmulas si ya están dadas? :)

Sí, tienes razón, es una buena idea mirar esta fórmula como fuertemente relacionada con una media. Me parece más intuitivo verlo como $$\max{\{a,b\}} = \frac{a+b}{2} + \frac{|a-b|}{2},$$ para ir al punto medio de $a$ y $b$ y añadir la mitad de la distancia $|a-b|$ entre ellos para llegar al más grande de ellos. De forma similar para la segunda fórmula.

Sí, la prueba es probablemente más fácil si la divides en los dos casos que sugieres y utilizas la definición del valor absoluto.

Answer 2

Es fácil una vez que te das cuenta de que siempre

$$a+b = \max(a,b) + \min(a,b) $$ porque estás sumando el más pequeño y el más grande si sumas ambos y $$|a-b| = \max(a,b) - \min(a,b) $$ porque se calcula la distancia tomando la mayor y restando la menor.

Para calcular la fórmula dada, basta con sumar o restar las dos ecuaciones.

Answer 3

Las fórmulas pueden pensarse en términos geométricos. Primero se sabe que la distancia entre los puntos $a, b$ es sólo el valor absoluto de su diferencia, es decir $d = |a - b|$ . Ahora, el punto medio entre $a, b$ es sólo $\frac{a+b}{2}$ . Entonces cada fórmula sólo te dice lo siguiente:

1. Para obtener el máximo $\max{(a, b)}$ pisas el punto medio $\frac{a+b}{2}$ y luego se "camina" la mitad de la distancia entre ellos en la dirección positiva sobre la línea real, es decir, se suma $\frac{|a-b|}{2}$ por lo que se obtiene $$\max{(a, b)} = \frac{a+b + |a-b|}{2}$$
2. Para obtener el mínimo $\min{(a, b)}$ harías lo mismo, pero "caminarías" ahora en sentido negativo, por lo que restarías $\frac{|a-b|}{2}$ para obtener ahora $$\min{(a, b)} = \frac{a+b - |a-b|}{2}$$

Answer 4

Sé que esto es un poco tarde, pero aquí otra forma de entrar en esa fórmula.

Si queremos saber $\min(a,b)$ podemos saber cuál es menor tomando el signo de $b-a$ . El signo se define como $sign(x)=\frac{x}{|x|}$ y $msign(x)=\frac{sign(x)+1}{2}$ para obtener los valores $0$ o $1$ ; si $msign(a-b)$ es $1$ significa que $a$ es mayor, si es $0$ , $a$ es menor. Para obtener el valor mínimo, tenemos que sumar todos los valores que $sign(x-y)$ es $1$ (lo que significa que $x$ es mayor que $y$ ) para $y=a$ y $x=b$ . Así que tenemos

$$\min(a,b)=msign(b-a)a+msign(a-b)b$$ y $$\max(a,b)=msign(a-b)a+msign(b-a)b$$

y simplificando

$$\min(a,b)=\frac{1}{2}\left(a+b-|a-b|\right)$$ $$\max(a,b)=\frac{1}{2}\left(a+b+|a-b|\right)$$

Todo esto viene de estas ecuaciones:

$$\min(a,b)= \begin{cases} a & msign(a-b)==0\\ b & msign(a-b)==1 \end{cases} $$

$$\max(a,b)= \begin{cases} a & msign(a-b)==1\\ b & msign(a-b)==0 \end{cases} $$