He aquí un buen trozo de intuición que he sacado del increíble libro de Dino Lorenzini Una invitación a la geometría aritmética .
Supongamos que tienes algún campo numérico $K$ (una extensión finita de $\mathbb{Q}$ ). Por la razón que sea (las soluciones de las ecuaciones diofantinas, digamos), usted quería estudiar algunas de las propiedades particulares de $K$ o algún subconjunto de $K$ . Después de trabajar un poco, empiezas a darte cuenta de que te has perdido $\mathbb{Z}$ . En particular, teniendo algún anillo distinguido $\mathbb{Z}$ sentado en el interior $\mathbb{Q}$ cuyo campo de fracción era el anillo completo, hizo preguntas puramente $\mathbb{Q}$ más fácil de responder. Por lo tanto, usted quiere algún análogo de $\mathbb{Z}$ dentro de $K$ Llámalo $\mathcal{O}_K$ .
Entonces, empiezas a pensar "qué propiedades debería tener este $\mathcal{O}_K$ satisfacer?" Bueno, en primer lugar, lo primero que querríamos (teniendo en cuenta lo que buscamos es)
- $\text{Frac}(\mathcal{O}_K)=K$
En segundo lugar, esperamos haber elegido nuestros "enteros" de forma coherente para que si $L\supseteq K$ entonces $\mathcal{O}_K=K\cap\mathcal{O}_L$ . En particular, dado que $\mathcal{O}_\mathbb{Q}$ debe ser $\mathbb{Z}$ querríamos:
- $\mathcal{O}_K\cap\mathbb{Q}=\mathbb{Z}$
Pero, querríamos que nuestra elección de $\mathcal{O}_K$ para ser canónico de alguna manera. Aunque hay muchas posibilidades de lo que esto podría significar, hay una moderadamente obvia. Si $K/\mathbb{Q}$ es Galois, entonces si $R$ es un subring cualquiera $R\subseteq K$ que satisface nuestras dos primeras condiciones, entonces $\sigma(R)$ será otro subring de este tipo para $\sigma\in\text{Gal}(K/\mathbb{Q})$ . Por lo tanto, si nuestra elección de $\mathcal{O}_K$ debería ser canónico, querríamos que $\sigma(\mathcal{O}_K)=\mathcal{O}_K$ (¡conjunto, no elemento!) para todos los $\sigma$ para no generar otros "candidatos naturales $\sigma(\mathcal{O}_K)$ . Por lo tanto, querríamos
- $\sigma(\mathcal{O}_K)=\mathcal{O}_K$ para todos $\sigma\in\text{Gal}(K/\mathbb{Q})$
Lo último que querríamos exigir, por las mismas razones de "canonicidad", que la propiedad anterior es que:
- $\mathcal{O}_K$ debe ser máxima con respecto a estas tres propiedades
lo que significa que ningún subring de $K$ conteniendo adecuadamente $\mathcal{O}_K$ también debe satisfacer estas propiedades.
$\text{ }$ $\text{ }$
Lo sorprendente, es que si $K/\mathbb{Q}$ es Galois, entonces estas cuatro propiedades obligan en realidad a $\mathcal{O}_K$ para ser el cierre integral de $\mathbb{Z}$ en $K$ que llamaremos $R$ . En efecto, dejemos que $\alpha\in\mathcal{O}_K$ . Entonces, si denotamos los conjugados de Galois de $\alpha$ par $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ el polinomio mínimo de $\alpha$ en $\mathbb{Q}$ es
$$\prod_{\sigma\in\text{Gal}(K/\mathbb{Q})}(T-\sigma(\alpha))=T^n+e_1(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)T^{n-1}+\cdots+(-1)^n e_n(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$$
donde $e_j$ es el $j^\text{th}$ polinomio simétrico elemental. En particular, utilizando el hecho de que $\mathcal{O}_K$ es un anillo, y la tercera propiedad de $\mathcal{O}_K$ vemos que el polinomio mínimo para $\alpha$ tiene coeficientes en $\mathcal{O}_K\cap$ . Pero, el polinomio mínimo sobre $\mathbb{Q}$ de cualquier cosa tiene coeficientes en $\mathbb{Q}$ . Por lo tanto, los coeficientes se encuentran en $\mathcal{O}_K\cap\mathbb{Q}=\mathbb{Z}$ . A partir de esto, concluimos que $\mathcal{O}_K$ está contenida en $R$ .
La primera propiedad de $\mathcal{O}_K$ fuerzas $\mathcal{O}_K$ para ser lo que se llama un [pedir](http://en.wikipedia.org/wiki/Order%28ringtheory%29) dentro de $R$ . Y entonces, la última condición obliga $\mathcal{O}_K$ para ser un orden máximo dentro de $R$ que, por alguna álgebra conmutativa, debe ser $R$ sí mismo.
$\text{ }$ $\text{ }$ $\text{ }$
Si bien esto no te dice por qué el cierre integral tiene un sentido intuitivo (esto se entiende mejor como un procedimiento de normalización en la geometría algebraica, como se insinúa en oxeimon en su post), sí te dice por qué el cierre integral es forzado. Cualquier teoría razonable de "los enteros" dentro de un campo numérico tiene que ser, al menos en el caso de una extensión de Galois de $\mathbb{Q}$ el cierre integral de $\mathbb{Z}$ .
De hecho, si se exige de forma más general (que la segunda condición) que $\mathcal{O}_L\cap K=\mathcal{O}_K$ , para $L\supseteq K$ entonces, incrustando cualquier extensión en un cierre de Galois, se ve que $\mathcal{O}_K$ debe ser el cierre integral de $\mathbb{Z}$ en $K$ en general.
Por supuesto, esta discusión se extiende bastante bien a las extensiones de campo de cosas distintas a $\mathbb{Q}$ .
