Números naturales Objeto y el Axioma del Infinito

Question

Es bien sabido (si eres un topos-teórico, se llama a la definición), que los números naturales $\mathbb{N}$ junto con el cero constante $0$ y la función sucesor $1\xrightarrow{\ 0\ }\mathbb{N}\xrightarrow{+1}\mathbb{N}$ inicial en la categoría de tales diagramas de conjuntos de $1\longrightarrow X\longrightarrow X$ (esto se conoce como el principio de la definición inductiva).

Supongamos que trabajamos en la clase de teoría como NBG.

Es cierto que los números naturales son todavía iniciales en el (meta)-categoría de tales diagramas de clases? O en términos teóricos, no inductivo definición de trabajo para las clases?

Originalmente, estaba pensando en lo siguiente: Supongamos que vamos a reemplazar el clásico Axioma del Infinito por el

Axioma de un NSIN: existe un Números Naturales Objeto en $\mathbf{Set}$.

Puedo demostrar que finito cardenales forman un conjunto recursivamente la definición de una función $\mathbb{N}\xrightarrow{\ \ f\ \ }(\text{Class of all Sets})$ $f(0)=\emptyset$ $f(n+1)=f(n)\cup\{f(n)\}$ y, a continuación, aplicar el Axioma de reemplazo?

Answer 1

Empezar por asumir $\omega$ es el conjunto más pequeño que contiene a $\emptyset$ y cerrado bajo la operación $x \mapsto x \cup \{ x \}$. (Una cosa es que garantiza que existe en ZFC y NBG.) Queremos mostrar que $\omega$ es un NSIN en la categoría de clases.

Deje $X$ ser una clase, vamos a $x_0 \in X$, y deje $F : X \to X$ ser una clase de función. Por el axioma de comprensión de los alumnos, podemos formar la clase $A$ de todas las funciones parciales $f : \omega \to X$ tal que $f (\emptyset) = x_0$$f (x \cup \{ x \}) = F (f (x))$. (Por supuesto, de una 'función parcial" me refiero a un conjunto de pares de la satisfacción de las evidentes condiciones). Es no vacía: la función parcial $\{ (\emptyset, x_0) \}$ es un miembro de $A$. Por otra parte, comunes y corrientes de inducción, se puede demostrar que, para cada $n \in \omega$, $f \in A$ $(n, x_n) \in f$ algunos $x_n \in X$; por otra parte, desde la $F$ es funcional, para cada $n \in \omega$, no hay una única $x_n \in X$ tal que $(n, x_n) \in f$ todos los $f \in A$ tal que $(n, x) \in f$ algunos $x \in X$. De esta forma se define una clase de función $\omega \to X$ (por clase de comprensión), por lo que estamos por hacer.

A mí me parece que el de arriba va a través de ZFC, siempre interpretamos "clase" y "clase" comprensión correctamente.