Cómo solucionar $\ x^2-19\lfloor x\rfloor+88=0$

Question

No tengo ni idea de cómo solucionar esto. Si la tienen ustedes, por favor, muéstrame tu solución.

$$\ x^2-19\lfloor x\rfloor+88=0$$

Answer 1

$$\ x^2-19\lfloor x\rfloor+88=0 \tag{*}$$

Empezar por la solución de $x^2-19x+88=0$. Este factores como $(x-8)(x-11)=0$ dar soluciones a $x\in\{8,11\}$. Ya que estos son números enteros, que son soluciones de ( * ).

No hay más soluciones de (*) por $8<x<9$ desde el 8 era un ordinario de la raíz y $x^2$ es cada vez mayor.

Para$9\le x<10$,$\lfloor x \rfloor = 9$, de modo que (*) se reduce a

$$x^2-19\cdot9+88=0 \implies x^2=171-88=83 \implies x=\sqrt{83}$$

Para$10\le x<11$,$\lfloor x \rfloor = 10$, de modo que (*) se reduce a

$$x^2-19\cdot10+88=0 \implies x^2=190-88=102 \implies x=\sqrt{102}$$

No hay más soluciones de (*) por $11<x<12$ desde el 11 era un ordinario de la raíz y $x^2$ está aumentando, no hay para $x\ge12$.

Así que las soluciones son:

$$x\in\{8,\sqrt{83},\sqrt{102},11\}$$

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Para todos los $x$, tenemos

$$\lfloor x \rfloor \le x < \lfloor x \rfloor + 1$$

Así, por $x>0$ y un fijo $\lfloor x \rfloor$, ya que el $x^2$ es el aumento en el $x$, la expresión en (*) se minimiza al $x=\lfloor x \rfloor$, es decir, cuando se $x$ es un número entero. Pero, a continuación, para la factorización $(x-8)(x-11)$ hemos

$$0\le x<8 \implies (x-8)(x-11)>0$$

como ambos factores son negativos. De modo que el lado izquierdo de (*) es al menos tan grande, así que siempre es positivo para $0\le x<8$, por lo que no hay soluciones con $0\le x<8$.

Es trivial ver que no hay soluciones para $x<0$, como todos los términos en el lado izquierdo en (*) son positivos.

Answer 2

Desde $x \geq \lfloor x \rfloor$ todos los $x$, usted tiene $x^2 - 19\lfloor x \rfloor + 88 \geq x^2 - 19x + 88$ todos los $x$. Por tanto, la gráfica de $x^2 - 19\lfloor x \rfloor + 88$ se encuentra por encima de la de $x^2 - 19x + 88$. Así que la función $x^2 - 19\lfloor x \rfloor + 88$ sólo puede ser cero en función de las $x^2 - 19x + 88 = (x - 11)(x - 8)$ es menos que o igual a cero, es decir, el intervalo de $[8,11]$.

Entonces, uno puede solucionar $x^2 - 19\lfloor x \rfloor + 88 = 0$ por separado en los cuatro rangos de $[8,11]$ donde $\lfloor x \rfloor$ es constante: los intervalos de $[8,9),[9,10],[10,11)$ y el singleton $x = 11$. Usted obtener las ecuaciones $x^2 - 64 = 0$, $x^2 - 83 = 0$, $x^2 - 102 = 0$, y $x^2 - 121 = 0$ respectivamente, que llevan a las cuatro soluciones de $8, \sqrt{83}, \sqrt{102},$$11$.

Answer 3

Edición de La primera versión de esta solución era falsa, y por lo tanto, he utilizado la misma idea con algún tipo de forzarlo para obtener el resultado.

Como se puede ver existe un entero $n$, de tal manera que $x=\sqrt n$ por lo tanto tenemos: $$n-19\lfloor \sqrt n \rfloor +88 =0$$ so let's write $n=k^2+l$ with $0\leq l< 2k+1$ y por lo tanto : $$k^2+l-19k+88=0$$ pero esto es equivalente a $0\leq (k-8)(11-k)< 2k+1$ y esto implica que: $$8\leq k\leq 11$$ que da $k=8,9,10,11$ y, por tanto, para cada solución calculamos el $l$ y deducir el valor de $n$ y, finalmente, se encontró que: $$x\in \left\{8,\sqrt{83},\sqrt{102},11\right\}$$

Answer 4

Deje $x = n + \epsilon$ donde$n\in \mathbb Z$$0 \le \epsilon \lt 1$.

Entonces $x^2 = (n + \epsilon)^2 = 19n - 88$

Desde $0 \le \epsilon \lt 1$, $n^2 \le 19n - 88 \lt (n+1)^2$

La línea de $y = 19x - 88$ cruza la parábola $y = x^2$ $x = 8$ y a las $x = 11$. Desde la parábola $y = x^2$ es cóncava hacia arriba, esto implica que

$n \in \{8, 9, 10, 11 \}$ $x = \sqrt{19n - 88}$

$n = 8 \implies x = 8$
$n = 9 \implies x = \sqrt{83}$
$n = 10 \implies x = \sqrt{102}$
$n = 11 \implies x = 11$

Answer 5

Primer intento de averiguar el rango de $x$. Sabemos que $x-1<\lfloor x\rfloor\le x$. Por lo tanto $-19x\le-19\lfloor x\rfloor< -19x+19$. Por lo tanto $x^2-19x+88<x^2-19\lfloor x\rfloor+88\le x^2-19x+107$ da $x^2-19x+88<0\le x^2-19x+107$. Una vez que usted va a resolver esto, usted tendrá un número finito de valores de $\lfloor x\rfloor$ y la solución de la ecuación será un pedazo de pastel.