Supongamos $S^1 \times \mathbb{R}P^2$ cubre un poco de espacio. ¿Por qué es que cualquier cubrir el espacio isomorfismo $h$ induce el mapa de identidad en $H_1$? No veo cómo probar esto a excepción tal vez de mirar a la construcción explícita del mapa de$\pi_1$$H_1$.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Una cubierta de transformación en particular, es un elemento de ${\rm Homeo}(S^1\times\mathbb{RP}^2)$, por lo que induce un automorphism de homología $\varphi\in {\rm Aut}(\mathbb Z\times \mathbb Z_2)$. Ahora es un ejercicio fácil para demostrar que $ {\rm Aut}(\mathbb Z\times \mathbb Z_2)$ consiste en el mapa de identidad, $(a,b)\mapsto (-a,b)$, $(a,b)\mapsto (-a,b+a)$ y $(a,b)\mapsto (a,b+a)$. Así que sólo tenemos que gobernar estos últimos tres mapas. Supongamos $f$ es una cubierta de transformación de la inducción de uno de estos mapas. Ahora vamos a utilizar el hecho de que la cobertura de transformaciones no tienen puntos fijos y la Lefschetz punto fijo teorema viene al rescate. En los dos mapas donde el coeficiente de $a$ es negativo, la alternancia de la suma de las huellas de la $f$ sobre el racional homologías $H_0\cong \mathbb Q$$H_1\cong\mathbb Q$$1-(-1)\neq 0$. Por lo $f$ tiene un punto fijo, lo que contradice la posibilidad de que se trata de una cubierta de transformación. Por lo tanto sólo tenemos que descartar $(a,b)\mapsto (a,b+a)$. Lamentablemente no veo cómo hacerlo en este momento...
Me gustaría añadir que esta pregunta depende de la particular espacio de $S^1\times\mathbb{RP}^2$ y no sólo a su grupo fundamental, como muestra el siguiente ejemplo. Vamos $$G=\langle a,b,c|[a,b]=1, b^2=1, cac^{-1}=ab, [c,b]=1\rangle.$$ El subgrupo generado por a $a,b$ es un subgrupo normal. Está claro que es un cociente de $\mathbb Z\oplus\mathbb Z_2$, pero en realidad se puede demostrar que es isomorfo a este grupo (ver más abajo). Así que vamos a $X$ ser un espacio con $\pi_1(X)=G$, y considerar la funda normal $Y$ con grupo fundamental de la $\mathbb Z\oplus\mathbb Z_2$ correspondiente a este subgrupo. A continuación, la cubierta de la transformación del grupo es isomorfo a $\mathbb Z$ generado por $c$ es el que actúa en $H_1(Y)$ mediante el envío de $a$$a+b$$b\mapsto b$.
Para ver que el subgrupo generado por a $a$ $b$ es isomorfo a $\mathbb Z\oplus\mathbb Z_2$, se dará una descripción de $G$. Observe que $b$ viajes con todo y $ca=acb$, por lo que en una palabra que representa a un elemento en $G$, siempre podemos reordenar a ser de la forma$a^kc^\ell b^m$,$a^kc^\ell b^m\cdot a^uc^v b^w=a^{k+u}c^{\ell+v}b^{m+w+\ell u}$. Por lo $G$ es isomorfo a $\mathbb Z\times\mathbb Z\times \mathbb Z_2$ con un divertido grupo de multiplicación: $(x,y,z)*(x',y',z')=(x+x',y+y',z+z'+y\cdot x').$ se puede ver que $\mathbb Z\times\{0\}\times \mathbb Z_2$ forma un subgrupo isomorfo a $\mathbb Z\times\mathbb Z_2$.
