¿Por qué el $L_2$ norma darle la ruta más corta entre 2 puntos?

Question

¿Por qué no la $L_1$ o $L_3$ distancias? ¿Hay alguna razón profunda de por qué el universo (al menos en humanos escalas) se ve bastante Euclidiana?

Podríamos imaginar un universo diferente donde diferentes $L_p$ métrica parece "natural"?

Sé que es una especie de una profunda pregunta, pero la particularidad de 2 aquí siempre me ha hecho de maravilla.

Answer 1

Si queremos un sentido de la localidad (o cálculo para el trabajo), nos gustaría ser capaces de obtener la longitud de la suma de la longitud de las piezas de la ruta (por ejemplo, utilizando una regla, o contando pasos al caminar a lo largo de la trayectoria entre dos puntos).

Sin embargo, incluso considerando sólo dos dimensiones a las que nos vemos algo interesante para $L_p$.

$$\left(|x|^p + |y|^p\right)^{1/p} = \sum_{i=1}^N \left(\left|\frac{x}{N}\right|^p + \left|\frac{y}{N}\right|^p\right)^{1/p}$$

Este trivialmente trabaja con $p=1$, y debido a un especial de simetría en $p=2$ funciona así. Esto no funcionará para otros $p\neq 0$ (no estoy seguro de cómo ampliar la definición para comprobar $p=0$).

El especial de simetría en $p=2$ es que la medida de la distancia se convierte en rotación invariable. Así que lo aparentemente mundano razones de

• el espacio tiene más de una dimensión
• localidad
• la uniformidad

parece que ya se seleccione $L_2$ especiales. Cualquier otra opción sería dar un mejor sistema de coordenadas, y posiblemente romper la localidad.

Así que ¿qué sería de un universo diferente en el que $L_1$ o algo más es la elección natural? Si usted se ha imaginado un N dimensiones Cartesianas de celosía mundo, por lo que discreto longitudes, y una claridad de coordenadas preferido base, esto haría de $L_1$ una opción más natural.

No estoy seguro de que una buena imagen de un universo en el que $L_p, p>2$ sería una opción natural. Habría preferido las direcciones, y sólo se podía considerar un objeto como un todo (no en partes), lo que parece sugerir que en un hipotético universo no se podía ni experiencia de su vida como una secuencia de momentos (que supongo que tendría sentido si tenemos altamente no-local de la física y, por tanto, la causalidad está fuera de la ventana).

Pregunta interesante.

Answer 2

Comentarios a la pregunta (v2):

1. Una bonita propiedad de la 2-norma (como en comparación con otras normas, como, por ejemplo, el $p$-norma) es que da lugar a un producto interior a través de un llamado polarización truco. E. g. en el caso real de la polarización de la fórmula tiene 2 términos: $$ \langle u, v \rangle ~:=~\frac{1}{4} || u+v ||^2 -\frac{1}{4} || u-v ||^2 .$$ Hay una similar 4-término de polarización de la fórmula en el caso complejo. Ver también esta relacionada con Phys.SE post.

2. Parece apropiado mencionar que existen métricas teorías, que son no se basa en la de Riemann colectores con una métrica tensor y su correspondiente 2-norma. Una clase de tales generalizada métrica teorías es Finsler la geometría, ver p.ej. arXiv.org.