Es el producto de dos objetos en una concreta categoría siempre un sub-objeto de que el producto de estos objetos vistos como conjuntos?

Question

Es el producto de dos objetos en una concreta categoría siempre un sub-objeto de que el producto de estos objetos en la categoría de conjuntos, es decir, es su producto en el hormigón de la categoría de un subconjunto de su producto cartesiano?

Answer 1

Deje $P : \text{Set}^{op} \to \text{Set}$ ser el powerset functor que envía un conjunto $X$ para el conjunto de sus subconjuntos y envía una función de $f : X \to Y$ a la inversa de la función de la imagen de $f^{-1} : PY \to PX$. Desde $P$ es fiel vemos que $\text{Set}^{op}$ es de hormigón, pero también que, dado cualquier hormigón $C$, $C^{op}$ es concreto: si $F : C \to \text{Set}$ es fiel, por lo que es $P \circ F : C^{op} \to \text{Set}$. Estos $C^{op}$ tienden a producir contraejemplos (que responder a su pregunta negativamente) al $C$ es algún tipo algebraico de la categoría-en cuyo caso $C$ sí no iba a dar contraejemplos.

Para dar un ejemplo concreto, tome $C$ a la categoría de Abelian grupos. Por lo que estamos logrando $C^{op}$ hormigón por medio de la functor $A \mapsto PA=\{$ subconjuntos de a $A \}$. El producto en $C^{op}$ es el subproducto en $C$ que es la suma directa de Abelian grupos. La canónica mapa de $P(A \oplus B) \to PA \times PB$ es sólo $S \mapsto (S \cap A, S \cap B)$ que no es inyectiva, a menos $A$ o $B$ es trivial.

Answer 2

No he encontrado un contraejemplo, pero estoy seguro de que hay uno donde $C$ tiene un solo objeto (¿no es esto divertido?):

Una categoría con un objeto es simplemente una monoid $M$. Se ha binario productos si y sólo si hay $p_1,p_2 \in M$ tal que $M \to M^2$, $m \mapsto (p_1 m,p_2 m)$ es un bijection, en otras palabras: Hay un isomorfismo de derecho-$M$-conjuntos de $M \cong M^2$; un ejemplo es $\mathrm{End}(S)$ para un conjunto infinito $S$.

Un functor $M \to \mathrm{Set}$ es sólo un conjunto $X$ que $M$ actúa sobre la izquierda, también llamado un $M$-set. Este functor es fiel iff la acción es fiel, es decir,$\forall m,n \in M \forall x \in X : mx=nx \Rightarrow m=n$. El mapa de $F(*) \to F(*) \times F(*)$ es sólo $X \to X \times X$, $x \mapsto (p_1 x,p_2 x)$. Es este inyectiva, es decir, ¿tenemos $p_{0,1} x = p_{0,1} y \Rightarrow x = y$? Probablemente no!

Estoy seguro de que alguien pueda encontrar un contraejemplo.