Por favor, compruebe mi prueba de: no Hay ningún número entero $\geq2$ suma de los cuadrados de cuyos dígitos igual al número entero en sí mismo.

Question

Mientras se va a dormir, acabo de empezar a pensar acerca de los números, sus plazas, cubos, dados y después de pensar acerca de la $20$ minutos tengo que:

No hay ningún número entero (de tener cualquier número de dígitos) con la excepción de$0$$1$, la suma de los cuadrados de cuyos dígitos es igual al número en sí.

¿No es interesante ??

Ahora me salió manta y comenzó a escribir todo lo que sobre el papel (O empezado a encontrar una prueba).

MI TRABAJO:: Supongamos que existe un entero $a_0a_1a_2.......a_{n-1}$ con n dígitos.

En primer lugar, se puede excluir fácilmente enteros negativos de la carrera como el número será negativo y suma de los cuadrados será positivo (nunca se puede equiparar negativo y positivo).

Ahora llega el turno de los no enteros negativos.

Como hemos asumir que existe un entero que satisfacer nuestra condición, por lo tanto, deben rendir nosotros:

$$10^{n-1}a_0+10^{n-2}a_1+.........10a_{n-2}+a_{n-1}={a_0}^2+{a_1}^2+.......{a_{n-2}}^2+{a_{n-1}}^2$$ Que en más problemas se torna, $$a_0(10^{n-1}-a_0)+a_1(10^{n-2}-a_1)+.........+a_{n-2}(10-a_{n-2})+a_{n-1}(1-a_{n-1})=0$$ $$a_0(10^{n-1}-a_0)+a_1(10^{n-2}-a_1)+.........+a_{n-2}(10-a_{n-2})=a_{n-1}(a_{n-1}-1)$$

Ahora, la parte más difícil para mí viene:

Los términos de la izquierda son todas positivas y van aumentando a medida que seguimos va hacia la izquierda.

Sólo podemos comparar los términos $$a_{n-1}(a_{n-1}-1)$$ and $$a_{n-2}(10-a_{n-2})$$ debido a que el menor de otros términos está demasiado lejos de la comparación.

Ahora bien, si hacemos una comparación, tendremos $$a_{n-1}(a_{n-1}-1)=a_{n-2}(10-a_{n-2})$$

Ahora vamos a formar una tabla para la función de RHS:

$$\begin{array}{c|c} a_{n-2}& a_{n-2}(10-a_{n-2})\\\hline 0& 0\\ 1& 9\\ 2& 16\\ 3& 21\\ 4& 24\\ 5& 25\\ 6& 24\\ 7& 21\\ 8& 16\\ 9& 9 \end{array}$$

De nuevo, se forma una tabla y esta vez para la función en el lado izquierdo:

$$\begin{array}{c|c} a_{n-1}& a_{n-1}(a_{n-1}-1)\\\hline 0& 0\\ 1& 0\\ 2& 2\\ 3& 6\\ 4& 12\\ 5& 20\\ 6& 30\\ 7& 42\\ 8& 56\\ 9& 72 \end{array}$$ Ahora tenemos todos los posibles valores de $a_{n-1}(a_{n-1}-1)$ $a_{n-2}(10-a_{n-2})$ y Un rápido vistazo a las tablas de rendimiento que el único valor común $a_{n-1}(a_{n-1}-1)$ $a_{n-2}(10-a_{n-2})$ tienen es $0$.

Por lo tanto la condición es seguido cuando ($a_{n-1}$ ,$a_{n-2}$ )=($0,0$) y ($1,0$). O $1$ $0$ son los únicos números que siguen a la condición.{ No hay ningún número entero (de tener cualquier número de dígitos) con la excepción de$0$$1$, la suma de los cuadrados de cuyos dígitos es igual al número en sí está demostrado}.

Espero que ustedes entiendan que este tipo de preguntas son difíciles de escribir (especialmente para alguien como yo, que es un beginer en Mathjax). Por lo tanto, si usted tiene cualquier problema en la comprensión, dejar comentario. Voy a estar agradecido si alguien puede verificar mi prueba o puede dar uno nuevo (con un enfoque totalmente diferente). Usted puede sugerir la modificación en mi trabajo o dar sugerencia de que donde se puede mejorar.Gracias

Answer 1

Su argumento es bueno, aunque un poco vaga a la final. Me gustaría reforzar comentando que $$a_{n-k}>0\implies a_{n-k}\left(10^{n-1-k}-a_{n-k}\right)>1\times \left(10^{n-1-k}-9\right)$$ which is greater than $99$ para todos los términos que usted desea deshacerse de. De esa manera, reducir el problema a dos dígitos de los casos, y a resolver esos correctamente.

Una forma algebraica más simple argumento: Si su entero ha $n$ dígitos, entonces la suma de los cuadrados pueden ser en la mayoría de las $81n$. Pero tenemos $$10^{n-1}≤81n\implies n≤3$$ so your number can have at most $3$ digits. Noting that $81\veces 3= 243$ we see that in fact we only have to check up up $243$. Esto puede ser fácilmente controlados por (mecánica asistida) de la mano.

Answer 2

El problema requiere $$\begin{align} 0 &=\sum_{k=0}^n\left(10^kd_k-d_k^2\right)\\ &=\sum_{k=0}^nd_k\left(10^k-d_k\right) \end{align}$$ El único punto negativo plazo puede ser $d_0(1-d_0)\ge-72$.
Para $k\ge2$ si $d_k\ne0$,$d_k\left(10^k-d_k\right)\ge10^k-1\ge99$.
Por lo tanto, sólo $d_0,d_1$ puede ser distinto de cero. Tan sólo tenemos que encontrar a $d_0,d_1$, de modo que $$d_1(10-d_1)=d_0(d_0-1)$$ Sin embargo $$d_1(10-d_1)\in\{0,9,16,21,24,25\}$$ mientras $$d_0(d_0-1)\in\{0,2,6,12,20,30,42,56,72\}$$ La única manera en que pueden ser iguales si ambos son $0$ y que requiere de $d_1=0$$d_0\in\{0,1\}$.

Es decir, las únicas soluciones son $0$$1$.

La prueba fue un poco difícil de leer, pero es similar.