¿Puede la suma de la primera $n$ ¿los cuadrados son un cubo?

Question

En otras palabras, si tienes un montón de balas de cañón en una pirámide cuadrada, ¿puedes reorganizarlas como un cubo en su lugar, o tienes que bombardear a alguien primero? O, por el contrario, ¿se puede $$n(n+1)(2n+1)=6x^3$$ tiene alguna solución entera no trivial?

Se sabe que el problema análogo en el que se quiere poner las balas de cañón en un cuadrado en lugar de un cubo sólo tiene una solución no trivial: $$\sum_{n=1}^{24}n^2=70^2$$

Se puede ver que $n,n+1,2n+1$ son coprimos por parejas mediante el algoritmo de Euclides. Consideremos los seis casos del resto $n \pmod 6$ :

$n=6y$

$y(6y+1)(12y+1)=x^3$

Como el producto de 3 enteros coprimos es un cubo, cada uno de ellos es también un cubo. Sea $y=a^3$ , $6y+1=b^3$ , $12y+1=c^3$ . Una solución es el equivalente a una solución del sistema $$b^3-6a^3 = c^3 - 12 a^3 = 1$$

$n=6y+1$

Aplicando el mismo argumento y la misma sustitución: $$2b^3-a^3=3c^3-2a^3=1$$

$n=6y+2$

$$c^3-4a^3=6b^3-c^3=1$$

$n=6y+3$

$$c^3-6a^3=4b^3-c^3=1$$

$n=6y+4$

$$b^3-2a^3=2b^3-3c^3=1$$

$n=6y+5$

$$c^3-2a^3=12b^3-c^3=1$$

Así que si se demuestra que ninguno de estos sistemas de "ecuaciones cúbicas de Pell" tiene una solución no trivial, el teorema queda demostrado. Tengo la sospecha de que una prueba rápida requeriría una bomba atómica de teoría algebraica de números.

Answer 1

Los seis casos se reducen a si se pueden encontrar soluciones enteras para la ecuación de Skolem $$x^3 + dy^3 = 1$$

para $d = 2$ y $4$ . Según mi referencia, hay un teorema:

(Skolem) - Si $d \in \mathbb{Z}$ se da con $d \ne 0$ existe a lo sumo un par $(x,y) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ con $y \ne 0$ tal que $x^3 + dy^3 = 1$

Para $d = 2$ El único $v \ne 0$ solución es $(u,v) = (-1,1)$ y no hay $v \ne 0$ solución para $d = 4$ .
Como corolario de esto, no hay $n > 1$ solución para la ecuación:

$$m^3 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

Por favor, consulte la referencia más abajo para más detalles.

Referencias

• Henri Cohen, Teoría de Números Volumen I, Herramientas y Ecuaciones Diofantinas ,
  $\S 6.4.7$ Ecuaciones de Skolem $x^3 + dy^3 = 1$ .