Existe una clasificación de finito conmutativa anillos disponibles? Si no, ¿cuál es la mejor estructura teorema que se conoce en la actualidad? Todo lo que sé es un resultado que cada finito anillo conmutativo es un producto directo de local conmutativa anillos (esto es correcto, ¿verdad?) en algunas papel que calcula el tamaño de la lineal general de grupo más que el anillo.
Respuestas
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Nick Cox
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16
Esta es una pregunta muy interesante relacionado con el esquema de Hilbert de $Hilb^n(\mathbb A^d)$ clasificar $$ n puntos en el espacio afín $\mathbb A^d$. Creo que no hay una clasificación, pero no hay una estimación para el número de anillos conmutativos de orden $\leq$ N. Es
$$exp[\frac{2}{27} \frac{log(N)^3}{(log 2)^2} \; +O(log(N)^{\frac {8}{3}})] \quad para N\to \infty $$
La prueba de este resultado debido a Bjorn Poonen y de las muchas interesantes teoremas en su artículo
Usted también encontrará sorprendente conjeturas en el artículo:
La fracción de local anillos de orden $\leq$ N entre todos los conmutativa anillos de $Una$ de pedido de $\leq$N tiende a 1. Mismo límite 1 de la fracción de los anillos "de carácter 8" en el sentido de que $8 . 1_A =0$ pero $4 .1 _A \neq 0$.
Sí, un anillo finito $R$ es finito suma directa de locales finito anillos. Como un primer paso, para cada uno de los prime $p$ no es un sub-anillo de $R_p$ de $R$ correspondientes a los elementos aniquilado por los poderes de $p$. $\requieren{encerrar} \encerrar{horizontalstrike}{R_p\ \estilo{font-family:inherit;}{\text{es entonces un}}\hspace{-7mm}}$ $\encerrar{horizontalstrike}{\estilo{font-family:inherit;}{\text{álgebra sobre}}\ \mathbb{Z}/p.}$ $R_p$, a continuación, se asemeja a un álgebra de más de $\mathbb{Z}/p$ y podría ser, pero también puede tener una evolución más complicada estructura como un abelian $p$-grupo (ver más abajo). Este paso se generaliza a la máxima ideales: Para cada ideal maximal m$$, $R_m$ es el sub-anillo de elementos aniquilado por $m^n$ $n$ y $R$ es la suma directa de estos subrings, que son locales anillos.
No es difícil escribir un duro parcial de la clasificación de los locales finito anillos. Si $R$ es local con ideal maximal m$$, que se asemeja a un álgebra sobre el campo finito $F = R/m$; el asociado gradual anillo es un álgebra. Si usted elige una base de $x_1,\ldots,x_n$ para $m/m^2$, entonces $R$ o de sus asociados gradual, es el cociente del polinomio anillo $F[\vec{x}]$ en el que sólo un número finito de monomials no son cero. Usted puede hacer un diagrama de estos no-cero monomials; estos pueden ser de cualquier orden ideal en el $$n-dimensional orthant. O, en la base de forma independiente, $R$ tiene una longitud, que es el más grande nonvanishing poder de los $m$, y cada $m^k/m^{k+1}$ es algunos cociente de la $k$th simétrica poder de la generación de espacio vectorial $V = m/m^2$.
Después de eso, el no-cero monomials puede ser linealmente dependiente (y no importa que $R$ puede ser más complicado que el de sus asociados clasificado). De manera informal, habrá un sinfín de resultados parciales y nunca habrá una clasificación completa cuando la longitud del anillo local es de 3 o más. Para ver esto, suponga que $m^4 = 0$, y supongamos que $m^3$ es sólo una dimensión por debajo de $S^3(V)$. A continuación, el anillo está definido por una arbitraria simétrica trilineal forma en $V$. Estos hacen un "salvaje" de la secuencia de variedades algebraicas, en el mismo sentido que la gente dice que la representación de las teorías de ciertos anillos son salvajes. Por ejemplo, creo (no estoy muy seguro) que es NP-difícil de determinar cuando dos trilineal formas son equivalentes. NP-dureza no es por sí mismo rigurosamente equivalente a ninguna clasificación, pero de manera informal la clasificación es un intratable lío.
Si el nonvanishing monomials en $R$ son linealmente independientes, entonces es un tórica anillo local. Toric local anillos son sin duda un dócil clase de anillos finitos.
La situación es similar a la no-conmutativa $p$-grupos, que también son salvajes y nunca va a ser clasificados. En ambos casos, ciertas clases tienen una buena estructura. También es interesante hacer estimaciones de cuántos hay.
Nota: Corregido por el comentario.
TomvB
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131
La caracterización de Artinian anillos es relevante, por supuesto. Véase también el libro "Finito conmutativa anillos y sus aplicaciones" y esta página web.
noocyte
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1112
Como siempre uno debe comprobar fuera de la OEIS para preguntas de este tipo. En este caso, ver http://oeis.org/A027623
Matt Miller
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1829
Suponiendo que por finito que significa "el conjunto subyacente es finito", entonces el primer pensamiento que viene a la mente es que el subyacente aditivo grupo de su anillo tiene que ser finito. Tengo la esperanza de que usted es capaz de mirar hacia arriba o trabajar de lo que uno podría ser capaz de decir sobre finito abelian grupos, y, presumiblemente, que podría velocidad en su camino.
Tal vez yo lo he entendido mal su terminología?
