Asociado a una función de $f$ dominio $D$ no es un operador lineal dada por
$$g \mapsto \int_D f(x) \, g(x) \, dx$$
Si tenemos un punto de $0 \in D$, entonces también hay un operador lineal dada por
$$g \mapsto g(0)$$
y en muchas maneras en las que esta se comporta de forma muy parecida a la de un operador lineal de la anterior especie. Para una cosa, si usted toma una secuencia de dominios compactos $C_i \to \{0\}$ y considerar el "valor promedio de $g$ $C_i$" operador lineal
$$g \mapsto \int_D \frac{1_{C_i}(x)}{{\rm vol}(C_i)} g(x) \, dx$$
asociada a la función de indicador normalizado
$$f(x) = \frac{1_{C_i}(x)}{{\rm vol}(C_i)}$$
luego de esto, obviamente, deben converger para el operador $g \mapsto g(0)$, al menos, suponiendo que las cosas están configuradas de manera que la convergencia funciona correctamente. Así, podemos imaginar el operador lineal $g \mapsto g(0)$ está asociado a un "generalizada de la función" $\delta(x)$, por lo que
$$``\int_D \delta(x) g(x) \, dx\text{''} := g(0)$$
A continuación, simplemente procede a definir "funciones generales" (o "distribuciones") a ser objetos con las propiedades deseadas, mientras que en el fondo usted está realmente sólo la sustitución de la noción de función $f$ asociada con el operador lineal [1]
$$g \mapsto \int_d f(x) \, g(x) \, dx$$
Eso es realmente todo lo que usted necesita saber. Todo lo demás se reduce a escoger exactamente el contexto en que se desee trabajar y elegir las cosas que hacen sentido-si usted desea utilizar un mayor espacio de funciones de prueba, usted sólo tiene que restringir la clase de funciones $f$ se permiten a sí mismos a tener en cuenta. Pero esto sólo tiene que ver con las funciones (o "funciones") $\delta$ va a sentarse junto a; $\delta$ sí funciona bajo casi cualquier circunstancia, ya que no requiere ningún tipo de noción de convergencia para definir.
ACTUALIZACIÓN: a Sabiendas de lo anterior, las pruebas de la mayoría de las declaraciones mencionadas en la pregunta cálculos rutinarios. Usted puede encontrar las definiciones de todas estas cosas ay funcional análisis de texto y simplemente enchufe en la delta de dirac. Por ejemplo, la definición de la transformada de Fourier de una función es
$$\hat{f}(s) = \int_{-\infty}^\infty f(x) e^{-2 \pi i x s} \, ds$$
Si consideramos una función de $f$ correspondiente a los lineales de los operadores de $F$ donde
$$F(g) := \int_{-\infty}^\infty f(x) g(x) \, dx$$
Esto nos lleva a definir
$$\hat{f}(s) := F(e^{-2 \pi i x s})$$
donde "f" puede ser cualquier cosa que hemos asociado un operador lineal $F$. Recordar que $\delta$ es sólo formal símbolo correspondiente a la lineal operador $L(g) := g(0)$, tenemos
$$\hat{\delta}(s) = L(e^{2 \pi i x s}) = 1$$
Del mismo modo, si $f$ es una función derivable, entonces podemos considerar el operador lineal asociado a $f'$,
$$g \mapsto \int_{-\infty}^{\infty} f'(x) \, g(x) \, dx = - \int_{-\infty}^{\infty} f(x) g'(x) \, dx$$
donde la igualdad se sigue de la integración por partes, usando el hecho de que estamos necesariamente trabajan en un contexto donde $\lim_{x \to \pm \infty} f(x) g(x) = 0$. De modo que el operador lineal asociado a $f'$ es
$$g \mapsto - \int_{-\infty}^{\infty} f(x) g'(x) = - F(g')$$
así que decide tomar esto como la definición de la derivada de algo que podemos asociar un operador lineal. En el caso de la función delta de dirac, $\delta'$ denota la cosa que se asocia a la lineal operador $g \mapsto g'(0)$.
[1] Si usted prefiere la teoría de la medida para el análisis funcional, que en su lugar podría pensar en la sustitución de la función $f(x)$ con la medida $\mu(x) = f(x) \, dx$. A continuación, el $\delta$ "función" es meramente una notación formal tal que $\delta(x) \, dx$ denota un punto de masa medida centrada en cero. Esto equivale a la misma cosa, ya que en última instancia lo que hace con una medida es integrar algo con respecto a ella.
