Deja que un número $x = 135792468135792468$. Encontrar el resto al $x$ se divide por $13$.
Es posible el uso de Fermat poco teorema sobre esto? Me doy cuenta de que el número es también la repetición después de $8$.
Realmente apreciaría cualquier ayuda, gracias!
La fuerza bruta no es exigente tanto esfuerzo, en realidad, un puñado de dos dígitos sustracciones, usando la tabla de $13,26,39,52,65,78,91,104,117$.
$$\color{blue}{13}5792468135792468\\\color{blue}{57}92468135792468\\\color{blue}{59}2468135792468\\\color{blue}{72}468135792468\\\color{blue}{74}68135792468\\\color{blue}{96}8135792468\\\color{blue}{58}135792468\\\color{blue}{61}35792468\\\color{blue}{93}5792468\\\color{blue}{25}792468\\\color{blue}{127}92468\\\color{blue}{109}2468\\\color{blue}{52}468\\\color{blue}{46}8\\\color{blue}{78}\\\color{blue}0.$$
Una pequeña digresión para especular sobre el origen del problema.
La prueba de divisibilidad por $9$ es bien conocido: el resto es la suma de los dígitos (mod $9$).
La prueba de divisibilidad por $11$ es un poco menos conocido: mira la alternancia de suma de los dígitos. Que funciona porque impar poderes de $10$$-1 \pmod{11}$, mientras que incluso los poderes se $1$.
Ahora se nota la encantadora hecho de que $7 \times 11 \times 13 = 1001$. Eso significa que usted puede encontrar el resto de mod $1001$ y, por tanto, mod $7$, $11$ y $13$ al alternadamente sumar y restar "dígitos" en grupos de tres - esencialmente el pensamiento de que el número escrito en base a $1000$.
(Escrito mientras @Barakmanos fue la publicación de esencialmente el mismo argumento.)
Has notado cómo el número de repeticiones, así que usted puede ver que esto es igual a $135792468\times1000000001$. Ahora la prueba de $1000000001$ de divisibilidad por $13$ (añadir repetidamente $4$ veces el dígito de más a la derecha que el resto de la serie, y si usted llega a un múltiplo de $13$ (llegar a 26 en este caso), el número original es divisible por $13$.
Aviso de $\ 13\mid n\,10^{\large 9}\!+n = n(\color{#c00}{10^{\large 9}\!+1})\,\ $ $\,\ {\rm mod}\ 13\!:\, \overbrace{\color{#c00}{10^{\large 9}}\equiv ((-3)^{\large 3})^{\large 3}}^{\Large (10\ \ \,\equiv\,\ \ -3)^{\,\Large 9}\quad\ \, }\!\!\equiv (-1)^{\large 3}\equiv\,\color{#c00}{-1}$
Comentario $\ $ En la misma forma en la que podemos ver rápidamente que $\,7,11,19\mid 10^{\large 9}+1$
$\qquad \a la izquierda.\begin{align} {\rm mod}\ \ 7\!:&\,\ \color{#c00}{10^{\large 3}}\ \equiv\,\ 3^{\large 3}\,\ \equiv\,\ \color{#c00}{{-}1}\\ \\ {\rm mod}\ 11\!:&\,\ \color{#c00}{10^{\large 3}}\equiv (-1)^{\large 3}\equiv\color{#c00}{-1} \end{align}\right\}\ \Rightarrow\, 10^{\large 9}\equiv (\color{#c00}{10^{\large 3}})^{\large 3}\equiv (\color{#c00}{-1})^3\equiv -1$
$\qquad {\rm mod}\ 19\!:\ 10^{\large 9}\equiv (-3^{\large 2})^{\large 9}\equiv -3^{\large 18}\equiv -1\ $ a poco de Fermat
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