Demostrar que $G \cong\mathrm{Inn}(G)$ si y sólo si $Z(G)$ es trivial

Question

Reclamo: Vamos a $G$ ser un grupo. Demostrar que $G \cong\mathrm{Inn}(G)$ si y sólo si $Z(G)$ es trivial.

Alguien podría ofrecer una pista sobre lo que demuestra esta afirmación sólo mediante simple de propiedades de grupo de isomorphisms? (es decir, no con el hecho de que el cociente grupo $G / Z(G)$ es isomorfo al grupo de interior de automorfismos de a $G$.)

EDITAR:

Resulta que esta Afirmación es falsa, como se indica. Hay varios contraejemplos, varios de los cuales son proporcionados en las respuestas a continuación, para el caso de G siendo infinito. Sin embargo, la afirmación se sostiene para los grupos finitos.

Answer 1

La afirmación es falsa según lo indicado. groupprops tiene un contraejemplo.

La afirmación correcta es específicamente sobre el mapa natural $G \to \text{Inn}(G)$, y como mencioné en mi comentario anterior no necesita saber nada acerca de los grupos cociente para demostrar la afirmación correcta: sólo tienes que determinar cuándo este mapa es inyectivo.

Answer 2

Consejos: si $\,\phi_a\,$ denota el isomorfismo interno determinado por $\,a\,$, es decir, $\,\phi_a(x):=axa^{-1}\,$, entonces

(1) Compruebe que $\,F:G\to\operatorname{Aut}(G)\;,\;\;F(a):=\phi_a\,$, es un homomorfismo;

(2) probar $\,Z(G)=\ker(F)\,\,,\,\,\,\operatorname{Inn}(G)=\operatorname{Im}(F)$

(3) aplicar el primer teorema del isomorfismo

Añadido: Como ya señaló en los comentarios, este sólo muestra que el $\,Z(G)=1\Longrightarrow G\cong Inn(G)\,$

Answer 3

Un poco más simple y más conocido (si tal vez no para de esta propiedad) contraejemplo en contra de la afirmación de que el citado por Qiaochu (pero es muy similar). Tome $G=O(2,\mathbf R)$, el grupo ortogonal del plano. Elija una línea de $L$ aunque el origen, entonces no es un surjective de morfismos de grupos de $G\to G$ que envía cada rotación $\rho$$\rho^2$, y corrige la reflexión $\sigma_L$ con respecto al $L$. Todos los otros en la reflexión de la forma $\sigma'=\rho\sigma_L$ mapas a $\rho^2\sigma_L$, que es el reflejo de ingenio respecto a la línea de $\sigma'(L)$ (lo que muestra que todas las reflexiones son en la imagen), es fácil comprobar que esta es una de morfismos de grupos. El núcleo de este morfismos tiene dos elementos, la identidad y la media vuelta de rotación, que también forman el centro de la $G$. Por lo tanto, por el primer teorema de isomorfismo $G\cong G/Z(G)\cong\operatorname{Inn}(G)$ aunque $Z(G)$ no es trivial.