¿El % de identidades $\{(xy)^p = x^p y^p : p \mbox{ is prime}\}$es lógicamente independiente?

Question

Para cada entero positivo $n$, vamos a $\eta_n$ denotar la siguiente identidad en el lenguaje de monoids.

$$(xy)^n = x^n y^n$$

Por ejemplo, $\eta_2$ es la identidad de $xyxy = xxyy.$

Pregunta. Es cierto que para cualquier subconjunto $Q$ de los números primos $\{2,3,5,\ldots\}$, existe un monoid $M$ tal que para todos los números primos $p,$ $M$ satisface $\eta_p$ fib $p \in Q$? En otras palabras, es $\{\eta_2,\eta_3,\eta_5,\ldots\}$ lógicamente independientes conjunto de oraciones? (En la presencia de la monoid axiomas).

Por ejemplo (y me puede estar pasando por alto algo obvio aquí), pero no creo que el $(xy)^5 = x^5 y^5$ sigue a partir de sólo $(xy)^2=x^2 y^2$$(xy)^3 = x^3y^3$.

Answer 1

Considerar la monoid $M$ dada por la presentación de $\langle x,y : \{(xy)^p = x^p y^p\}_{p \in Q} \rangle$. Con el fin de mostrar que el$(xy)^q \neq x^q y^q$$M$$q \notin Q$, utilizamos dos palabras $w,w'$ $x,y$ a ser igual en $M$ si y sólo si $(w,w')$ se encuentra en la relación de equivalencia generada por la siguiente relación: Hay palabras $a,b$ $p \in Q$ tal que $w=a (xy)^p b$, $w'=a x^p y^p b$. Lo bueno es que (en contraste a los grupos) no se produce la cancelación. Por lo tanto, se convierte en una "combinatoria" ejercicio para demostrar que $(xy)^q$ $x^q y^q$ no son iguales en $M$. Si fuera así, tendríamos que sustituir a $(xy)^p$ $x^p y^p$ en algún lugar de $(xy)^q$, que sólo funciona al $p \leq q$. Terminamos con $(xy)^i x^p y^p (xy)^{q-p-i}$. Nunca podemos llegar a $x^q$ o $y^q$ de esta forma. Por supuesto, uno realmente tiene que probar esto, por inducción, tal vez. Por favor dime si esto hace que cualquier dificultad.