No sé cómo lo hizo Leibniz, pero me parece que los principales ingredientes de esta sencilla prueba deberían haber estado a su disposición (aunque redactados con menos rigor que el actual):
Definición. Una función $f$ de una variable es algebraico si existe un polinomio $p(x,y)$ tal que $p(x,f(x))=0$ para todos $x$ .
Reclamación. Para cada polinomio no nulo $p$ Hay un $x_0$ tal que $p(x_0,\sin x_0)\ne 0$ .
Prueba mediante una larga inducción en la más alta potencia de $y$ que aparece en $p(x,y)$ .
Supongamos primero que $p$ contiene al menos un término no nulo que no lo hace contienen $y$ . Entonces $p(x,\sin x)=p(x,0)$ siempre que $x$ es un múltiplo de $\pi$ . Pero el lado derecho es un polinomio no nulo en una variable y, por tanto, puede tener como máximo un número finito de ceros. Por lo tanto, existen algunos $k\pi$ donde $p(k\pi,0)$ -- y por lo tanto también $p(k\pi,\sin k\pi)$ -- es distinto de cero.
Por otro lado, si cada término de $p$ contiene $y$ entonces $p(x,y)=y q(x,y)$ para algún polinomio $q$ . La hipótesis de inducción se aplica a $q$ Así pues, dejemos que $x_0$ sea un valor tal que $q(x_0,\sin x_0)\ne 0$ . Si $x_0$ resulta ser un múltiplo de $\pi$ entonces porque $q(x,\sin x)$ es claramente continua, habrá otra adecuada $x_0$ cerca. Así que sin pérdida de generalidad $x_0$ es no un múltiplo de $\pi$ y por lo tanto $q(x_0,\sin x_0)\ne 0$ implica que $$ p(x_0,\sin x_0) = \sin x_0 \cdot q(x_0,\sin x_0)\ne 0 $$ según sea necesario.
(Obsérvese que esta demostración depende únicamente del hecho de que la función seno es continua y tiene infinitos ceros aislados).
