Para mí, posiblemente el más fuera de en ninguna parte de la definición del primer semestre de Cálculo fue la siguiente definición de una función convexa y sus equivalentes.
La función $f$ es convexa en el intervalo de $J$ si $\forall x,y\in J$ $\forall\lambda\in (0,1)$ $$f(\lambda x + (1-\lambda )y)\leq\lambda f(x) + (1-\lambda )f(y)\tag1$$
Equivalentemente, si $\forall u,v,w\in J:u<v<w$ $$f(v)(w-u)\leq f(w)(v-u)+f(u)(w-v)\tag2$$
o
$$\frac{f(v)-f(u)}{v-u}\leq \frac{f(w)-f(v)}{w-v}\tag3$$
Estoy buscando una intuición, o la representación visual de lo que estas tres definiciones de "realidad" significa.
(3), siendo muy similar a la definición de un derivado, es el único que tiene sentido para mí, que es: una función es convexa si la pendiente entre los puntos de $(u,f(u))$ $(v,f(v))$ es menor que la pendiente entre el$(v,f(v))$$(w,f(w))$.
(2) parece que hay que buscar en las áreas de los rectángulos, sin embargo, que es sobre todo lo que podría decir al respecto.
(1) tenemos! $f(\lambda x + (1-\lambda )y)$ es el valor funcional de un punto entre el $x$ $y$ $\lambda f(x) + (1-\lambda )f(y)$ es un punto entre el $f(x)$ $f(y)$ sobre una pendiente entre dos puntos, lo que supone el hecho de que la pendiente es nunca por debajo del valor funcional.
Ahora puedo ver que representa el hecho de que la pendiente entre el $x$ $y$ siempre está por encima de la función, no veo, sin embargo, cómo $\lambda f(x) + (1-\lambda )f(y)$ es un punto en la ladera.
Gracias por la ayuda!
