¿Cómo tienen suficiente estructura para cálculo colectores?

Question

Me estoy refiriendo, por supuesto, a diferenciable colectores. Yo he visto un par de definiciones diferentes. La que más me gusta es la que dice que es un espacio topológico tal que cada punto tiene una vecindad homeomórficos a un conjunto abierto en $\mathbb{R}^n$ y la superposición de funciones diffeomorphisms.

Puedo ver que queremos que la transición mapas son diffeomorpisms, por lo que el cálculo que hacemos en cada coordenada gráfico está de acuerdo con los demás, pero ¿cómo homeomorphisms para el espacio Euclidiano dar suficiente estructura para desarrollar un derivado, por ejemplo, en una coordenada parche? Quiero decir, el círculo y la esfera son homeomórficos pero me gustaría llamar sólo a uno de esos suave. ¿Cómo suavidad en los traslapos de hacerlo para todo el colector? He visto que se decía que una vez que una estructura diferenciable definida, la homeomorphisms convertido en diffeomorphisms. Es esto correcto y alguien podría ampliar ese si que es?

Además, he visto definiciones dadas para los colectores con bijections en lugar de homeomorphisms. Puede que, posiblemente, el trabajo? Bijections no tienen que ser especialmente agradable en todo, así que no puedo por la vida de mí ver cómo se desea obtener suficiente de la estructura. Por favor me corrija si me lo he entendido mal alguna parte de este.

Answer 1

No hacer cálculos directamente en el colector. Todo lo que se hace en el mundo de coordenadas.

Tu coordinar los mapas permiten empujar las cosas hacia abajo en $\mathbb{R}^n$ donde podemos tomar límites, calcular parciales, encontrar Jacobina de matrices, etc.

Que requieren las coordenadas de mapas homeomorphisms es redundante. Por qué? Tome su colector de ser un conjunto equipado con algunas altas (bijective coordinar los gráficos). Entonces usted acaba de declarar que estos coordinar gráficos (bijections) son homeomorphisms. De esa manera se fuerza la topología del conjunto y a su vez en un espacio topológico (ahora equipado con homeomophism coordinar los gráficos).

El truco para el colector de la teoría es que nunca estás realmente trabajando directamente en el colector de sí mismo. Usted siempre se traduce en el mundo de las coordenadas y del trabajo.

Edit: A la dirección de @studiosus comentario...

Bueno, mi último párrafo es un poco exagerado. Tal vez debería decir en lugar de...

Para hacer concreto "cálculo" de cómputos, usted debe (por lo general) traducir al mundo de coordenadas y trabajar allí. Esto es muy parecido a lo que es en la geometría. Usted puede hacer mucho con el sintético de la geometría, pero cuando se desea calcular...añadir las coordenadas y el inicio de la computación.

Answer 2

Dada una estructura lisa en el colector $M$ los homeomorphisms convertido en diffeomorphisms. Para ver que permiten $\varphi_\alpha:U_\alpha\subset M\to\mathbb{R}^n$ ser cartas en $M$. Un mapa $f:M\to M$ se dice que es suave, si su representación local $\varphi_\alpha\circ f\circ\varphi_\beta^{-1}:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n$ es liso. Ahora considere la representación local de un Homeomorfismo $\varphi_\alpha$ y tenga en cuenta que suavidad sigue por la definición de la estructura lisa (ya que la transición mapas $\varphi_\alpha\circ\varphi_\beta^{-1}$ son lisos). Así, $\varphi_\alpha$ de hecho es un diffeomorphism de $M$.