Derivadas: simplificar la "d" de un número sin estar sobre "dx"

Question

Entiendo por qué $\dfrac {\mathrm d(x^2)}{\mathrm dx} = 2x$ ya que estamos tomando la derivada de $x^2$ con respecto a $x$ . O $\dfrac {\mathrm dx^2}{\mathrm dx^2} = 1$ ya que estamos tomando la derivada de $x^2$ con respecto a $x^2$ como variable base.

Del libro de texto:

$$\begin{align} x^2 &= u^3-1\tag1\\[5pt] \frac {\mathrm dx^2}{\mathrm du} &= 3u^2\tag2\\[5pt] dx^2&=3u^2\mathrm du\tag3\\[5pt] 2x\mathrm dx&=3u^2\mathrm du\tag4 \end{align}$$

¿Cómo pasó el libro de texto del paso 3 al 4? En concreto, ¿cómo $\mathrm dx^2 = 2x\mathrm dx$ ?

Answer 1

Este es un derivado total y parece que lo utiliza en la forma enseñada como diferenciación implícita . El conjunto de variables es $\{x,u\}$ . (Nótese que cuando escribimos $x^2 = u^3 - 1$ no hay una división clara entre las variables dependientes e independientes). Entonces $$\begin{align} d(x^2) &= \frac{\partial x^2}{\partial x} \mathrm{d} x + \frac{\partial x^2}{\partial u} \mathrm{d}u \\ &= (2x) \mathrm{d}x + (0) \mathrm{d}u \\ &= 2x \mathrm{d}x \text{.} \end{align}$$

Probablemente habría sido mejor si su libro hubiera demostrado el uso de la regla de la cadena aquí: $$\begin{align} \frac{\mathrm{d}(x^2)}{\mathrm{d}u} &= \frac{\mathrm{d}(x^2)}{\mathrm{d}x}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}u} \\ &= 2x \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}u} \text{,} \end{align}$$ y luego continuar "multiplicando" ambos lados por $\mathrm{d}u$ . (Advertencia: es muy probable que tu "cerebro de álgebra" acabe de sacar una conclusión incorrecta sobre el funcionamiento de los productos de las derivadas).

Hay una serie de ideas horribles presentes en lo que usted afirma que está en su libro: $\frac{\mathrm{d}(x^2)}{\mathrm{d}u}$ no es una fracción y no se puede ir por ahí multiplicando las cosas por la simple " $\mathrm{d}u$ " con seguridad sin saber lo que se hace. En particular, si se toma al pie de la letra, el paso de multiplicar ambos lados de su ecuación por $\mathrm{d}u$ equivale a destruir toda la información de su ecuación multiplicando ambos lados por cero. ¿Qué es en realidad significa que un límite a la izquierda y un límite a la derecha del signo de igualdad se acercan a cero de alguna manera particularmente útil que se indica por todo lo demás en la ecuación. Sin embargo, esta manipulación formal puede ser útil para resolver ciertos tipos de ecuaciones. Pero como cualquier manipulación formal, sólo puede sugerir una solución; todavía hay que verificar que la sugerencia es una solución.

Answer 2

Gracias por todas las pistas, lo he resuelto.

Continuación de $(3)$ :

$$\begin{align} \mathrm dx^2&=3u^2\mathrm du\tag3\\[5pt] \frac{\mathrm dx}{\mathrm dx}\mathrm dx^2&=3u^2\mathrm du\tag{3a}\\[5pt] \mathrm dx\frac{\mathrm dx^2}{\mathrm dx}&=3u^2\mathrm du\tag{3b}\\[5pt] \mathrm dx \cdot 2x&=3u^2\mathrm du\tag{3c}\\[5pt] 2x\mathrm dx&=3u^2\mathrm du\tag4 \end{align}$$

Answer 3

Las diferenciales satisfacen todas las leyes de las derivadas conocidas, por ejemplo (donde $x,y$ son variables y $n$ es una constante)

$$\mathrm{d}n = 0$$ $$\mathrm{d}(x+y) = \mathrm{d}x + \mathrm{d}y$$ $$\mathrm{d}(x-y) = \mathrm{d}x - \mathrm{d}y$$ $$\mathrm{d}(xy) = x \mathrm{d}y + y \mathrm{d}x$$ $$\mathrm{d}\left( \frac{x}{y} \right) = \frac{y \mathrm{d}x - x \mathrm{d}y}{y^2}$$ $$\mathrm{d}(x^n) = n x^{n-1} \mathrm{d}x$$ $$\mathrm{d}f(x) = f'(x) \mathrm{d}x$$

Como puede aplicar $\mathrm{d}$ a una identidad para obtener una nueva identidad, la ecuación que buscabas podría derivarse en un solo paso, aplicando las leyes de la derivada

$$\mathrm{d}(x^2) = 2x \mathrm{d}x$$

$$\mathrm{d}(u^3 - 1) = \mathrm{d}(u^3) - \mathrm{d}1 = 3 u^2 \mathrm{d}u$$

Answer 4

De verdad, $\frac{d(x^2)}{dx} = 2x$ y $d(x^2) = 2xdx$ son sólo notaciones ligeramente diferentes para la misma declaración. Hay no hay multiplicación en marcha sólo lo parece.

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Esta es una mejor cadena de razonamiento:

$x^2+c = \int{2xdx}$ .

Al diferenciar ambos lados, se obtiene

$d(x^2)+d(c) = d(\int{2xdx})$ .

$d(c)$ es $0$ y $d(\int{()})$ se anula, por lo que

$d(x^2) = 2xdx$

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Y es obvio que se puede extender este razonamiento a otras funciones

Answer 5

Tal y como ha dicho en la primera línea, $\frac{d(x^2)}{dx}=2x$ . Si se multiplican ambos lados por $dx$ se obtiene el número 4.