No me refiero a ramas como análisis funcional
¿Sea matemáticas que utilizamos en la escuela primaria (que utiliza los axiomas de Peano) las matemáticas 'correcta'?
¿Hay matemáticas que utiliza otros axiomas? ¿Axiomas de Zermelo-Frankel es otro tipo de matemáticas? Cualquier cosa a lo largo de esas líneas es mi pregunta.
El ejemplo lo más fácil es aritmética modular, que es donde se violan un axioma de Peano haciendo sus números de envoltura alrededor, como en un reloj. Así, en el anillo de los enteros modulo $12$, el producto $5\cdot 11$ está todavía bien definido, pero no es $55$ sino $7$. Usted puede ver esto si te gusta como el resto de la división por $12$; $55$ es $4\cdot12 + 7$.
Curiosamente, resulta que si el módulo es primo, usted puede tener la división sin fracciones: así, por ejemplo, en el mod-$23$ anillo, para obtener un inverso multiplicativo de a $11$, no sólo la necesidad de dar y de inventar la fracción $\frac{1}{11}$; usted puede usar en su lugar el entero $21$ $21\cdot11=231$ y el resto después de dividir por $23$ $1$. Así, por ejemplo, para dividir a $8$ $11$ usted no tiene que rendirse y decir "es solo ocho elevenths, tratar con él", pero ahora se puede decir que "es $8\cdot21 = 168 = 7\cdot23 + 7,$, por lo que en este anillo de ocho elevenths es exactamente el número de $7$."
También puede extender el sistema en lugar de descuidar parte de ella. Al inventar los números reales y potencialmente infinito de decimales, se define algo con un nuevo axioma que no es parte de los axiomas de Peano, llamado el mínimo límite superior de la propiedad, que dice que si tenemos una secuencia de números reales que tiene un enlace de arriba, a continuación, hay algunos menos límite superior con respecto a su normal de ordenar. Que es lo que hace que los números reales "rellenado" de una manera que los racionales no son.
Hay dos problemas principales aquí:
Elección de sistema formal
Primero tienes que elegir un sistema lógico.$\def\imp{\rightarrow}$$\def\eq{\leftrightarrow}$ El convencional opción es la clásica de la lógica de primer orden, que tiene operaciones booleanas $\neg,\land,\lor,\imp,\eq$ (no,y,o, "si-entonces", su equivalente) y cuantificadores $\forall,\exists$ (para todos, no es). Una de primer orden que tiene el lenguaje de estos, así como la igualdad y una colección fija de predicado de símbolos y símbolos de función. Predicado se utilizan símbolos para denotar propiedades, como por ejemplo, si usamos "$P(x)$" para representar "$x$ es una persona". Los símbolos de la función se utiliza para indicar una operación que puede realizarse en cualquier objeto en el dominio, como si nuestro dominio está destinado a ser los números naturales y usamos "$S(x)$" para denotar "el sucesor de $x$".
Clásicos de la lógica de primer orden viene con reglas deductivas que dicen exactamente si una prueba es válida o no. Hay muchos formatos equivalentes de pruebas y normas. Una intuitiva uno se llama deducción natural (especialmente Fitch estilo). De cualquier manera, no hay mucho que se puede comprobar con sólo un fijo idioma y nada más allá de la lógica deductiva de las reglas. Todos los útiles que los sistemas formales así consisten no sólo subyacente a la lógica del sistema, sino también de otras reglas o axiomas que rigen los objetos del dominio.
Por ejemplo, la Aritmética de Peano (PA) fue originalmente basadas en el pleno de segundo orden de la lógica (que es estrictamente más fuerte que la lógica de primer orden), y sólo hay unos pocos axiomas de segundo orden PA. Pero debido a que la lógica de primer orden tiene mucho más agradable propiedades, la gente cuando se refiere a PA a menudo significa de primer orden PA donde el segundo orden de inducción axioma es imitado por tener un número infinito de axiomas, cada uno por una fórmula diferente. Este PA es más la de primer orden lenguaje con 2-funciones de entrada de $+,\times$ y el 1 de entrada de la función sucesor $S$. Tenga en cuenta que en el dominio de cada objeto es un número natural, por lo que cada objeto tiene un sucesor y cualquiera de los dos objetos pueden ser suman o se multiplican.
Zermelo-Frankel la teoría de conjuntos [con el Axioma de Elección] (ZF[C]) es otro de primer orden formal del sistema, con un conjunto diferente de los axiomas, y otra es la intención de dominio, es decir, donde cada objeto es un conjunto, y por lo tanto "$x \in y$" tiene sentido para los objetos $x,y$, y, de hecho, ZF[C] es durante el primer fin de idioma con sólo un 2-entrada de predicado símbolo "$\in$". Puesto que los números naturales son muy útiles, ZF incluye un axioma que se llama Infinito que es básicamente equivalente a afirmar que el conjunto de los números naturales existen. El uso de este axioma (con los otros axiomas de ZF), podemos probar (en ZF) que hay algunos que los modelos de PA. Estoy handwaving aquí porque sería demasiado largo de explicar lo que "modelos".
Algunas personas se oponen a la lógica clásica, y en lugar de ceñirse a intuitionistic lógica, que es estrictamente más débil, en el sentido que:
Aunque el mundo real parece ser modelados con precisión por la lógica clásica, que es una idea subyacente en todos nuestros experimentos científicos, sin embargo hay una hermosa correspondencia entre las pruebas en intuitionistic lógica y programas en informática teórica.
Significado y verdad
Ahora el sistema formal en sí no especificar ningún significado. Para ello siempre tenemos que buscar en el sistema formal desde el exterior. Cuando lo hacemos, podríamos, a continuación, asignar significado a las declaraciones hechas dentro del sistema formal. En el caso de la lógica de primer orden, se le asigna el "obvio" significado a las operaciones booleanas y los cuantificadores y la igualdad. Pero en realidad estos son circulares porque no se puede explicar "si" a alguien que no sabe lo que "si" o un medio equivalente. Mismo, con la intención de significados que le damos a la lī símbolos y los símbolos de la función. (Ver http://math.stackexchange.com/a/1334753/21820)
Es mejor decir simplemente que acabamos de establecer las normas y los axiomas de un sistema formal, y cualquier persona que acepta que son significativos en algunos de interpretación, a continuación, tienen que aceptar todos los teoremas que puede ser demostrado a partir de ellos, de acuerdo a esa interpretación. Es posible que diferentes personas tienen diferentes interpretaciones de un mismo sistema formal, por lo que también tienen diferentes interpretaciones de los teoremas. No hay forma de evitar esto, porque no hay manera de definir el significado con precisión suficiente para excluir a toda interpretación, en parte porque en última instancia se basan en la comprensión compartida de algunos idiomas, como el inglés para transmitir nuestra interpretación de símbolos matemáticos.
Pero ese es precisamente el problema, cuando nos preguntamos:
Hay una correcta matemáticas?
Porque antes de que podamos respuesta que hemos de dar sentido a lo que 'matemáticas', y, a continuación, ver si ese significado es "correcto" o no. El término 'matemáticas' es demasiado nebuloso, y nos puede "definir" es como trabajar en algún sistema formal, pero todavía tenemos que dar un significado a cada declaración que se ha demostrado que en cualquier sistema formal que se elige. Ya he mencionado brevemente que incluso el sistema formal elegido depende de las preferencias filosóficas o utilidad en el modelado o ambos, pero ambos de estos criterios dependen de la interpretación.
Incluso si creemos que no hay una verdad absoluta, que no puede ser capaz de acceder a él, y así es difícil juzgar la corrección, incluso si el criterio es precisa modelado del mundo real. Recuerde que durante mucho tiempo la mecánica Newtoniana pasado las pruebas científicas, simplemente porque era un modelo muy preciso para velocidades bajas y bajas masas/energías (con la notable excepción de la órbita de Mercurio). La relatividad general de Einstein en la actualidad pasa a todos los conocidos de pruebas científicas, pero quien sabe si es otra aproximación? Asimismo, hoy en día utilizamos encriptación RSA para la mayoría de las conexiones HTTPS en internet, que se basa en la Fermat poco teorema, que es un teorema demostrable en PA. Hasta ahora podemos decir con seguridad que trabaja para 'al azar' elegido 1024 bits semi-primes, pero es que cada teorema de PA es realmente cierto cuando los números naturales son interpretados para ser finito cadenas de dígitos que se representa en el medio físico, tales como hardware de computación?
Tenga en cuenta que si el universo es en realidad finita, entonces PA es claramente falsa, pero nunca debemos ser capaces de saber que, incluso si esto era así, porque incluso los sistemas formales se puede romper. La definición de los sistemas formales se basan en la capacidad para manipular cadenas, y tal vez no podemos mantener la integridad de las representaciones físicas de las cadenas más allá de un cierto tamaño...
En cualquier caso, debemos desarrollar y utilizar sistemas formales que son útiles para nosotros, así que no necesita preocuparse demasiado acerca de si no para situaciones extremas que nunca podemos encontrar. Es de señalar que el total de la fuerza de ZF es apenas necesario para probar las cosas que son relevantes para nuestro mundo físico; de manera que la gente también han investigado qué partes de ZF son necesarias para que hechos importantes que han verificable manifestaciones físicas, tales como la teoría de la computabilidad, teoremas en el duro análisis, y algunas otras áreas de las matemáticas. Esta área de investigación se llama inversa de las matemáticas.
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