Continuidad y continuidad uniforme de $f(x)$ $\mathbb Q$

Question

Tener en cuenta, la función $f:\mathbb Q\to \mathbb R$ definida por

$$f(x)=\begin{cases}1 &\text{ if, } x<\pi\\2 &\text{ if, } x>\pi\end{cases}$$

Muestran que, $f$ es continua pero NO uniformemente continua...

Dejó, $\epsilon >0$ ser arbitraria. Siempre podemos encontrar un $x>\pi$ y $y<\pi$ tal que $|x-y|<\delta$.

Pero, $|f(x)-f(y)|=|2-1|=1\not <\epsilon$.

Así, $f$ NO es uniformemente continuo...

Pero soy incapaz de encontrar que $f$ es continua...

Answer 1

Deje $\varepsilon > 0,x \in \mathbb{Q}$ y definen $\delta=|\pi-x|$. Para $x<\pi$ si $|x-y|<\delta$$y<\pi$$|f(x)-f(y)|=|1-1|=0<\varepsilon$. Esencialmente lo mismo ocurre cuando la $x>\pi$. Tenga en cuenta que el $\delta$ elegí aquí depende de $x$, y se va a cero cuando se $x$ se acerca a $\pi$.

También la prueba de que usted no tiene uniforme de la continuidad no es del todo correcta. Usted debe fijar un $\varepsilon$, que debe ser menos de $1$, decir $\varepsilon=1/2$. A continuación, vamos a $\delta > 0$ ser arbitraria y elegir un $x$, de modo que el intervalo de $(x-\delta,x+\delta)$ contiene un punto en el otro lado de la $\pi$.

Todavía, +1 para mostrar su trabajo.

Answer 2

Fix $x \in \Bbb Q$. Que $\epsilon > 0$. Tomar el $\delta < |x-\pi|$. Así que, si $|x-y|<\delta$, tendremos $f(y) = f(x)$, por lo tanto, $|f(y)-f(x)| = 0 < \epsilon$. La idea de recoger que este $\delta$ es asegurar que $y$ termina en el "mismo lado" de $\pi$ que $x$ es.

Answer 3

El único punto de discontinuidad es $\pi$ que no es miembro de $\mathbb{Q}$, por lo que no puede dar un $x \in \mathbb{Q}$ en que $f(x)$ tiene mano izquierda y derecha límites diferentes. Por lo tanto es continua.