¿Tiene sentido comparar números complejos en determinadas circunstancias?

Question

Sé que $\mathbb{C}$ es un campo no ordenado y que los números complejos (estrictamente no reales) no pueden "compararse" en el sentido de que uno sea menor o mayor que otro.

Sin embargo, podemos comparar números reales; geométricamente, esto se debe a que se encuentran en una línea recta que pasa por el origen, $0+0i$ y un real es mayor que otro si está "más lejos" de la línea real que el otro.

Me pregunto si, dado que dos (o más) números estrictamente complejos (es decir, con partes reales e imaginarias distintas de cero) pueden compararse dado que se encuentran en una línea recta que pasa por el origen. Por ejemplo, para mí, tiene sentido decir que $1+i<2+2i$ por ejemplo, y que $i<10i,$ ya que uno es un múltiplo real del otro.

Esencialmente, lo que estoy preguntando es: ¿podemos comparar los números complejos de otra manera que no sea comparando sus módulos?

Gracias

Answer 1

Sí, puedes poner un ordenación lexicográfica en los números complejos, lo que lo convierte en un conjunto totalmente ordenado. Sin embargo, no podemos introducir una relación totalmente ordenada sobre los números complejos (como un campo tal que las operaciones de campo sean compatibles con el orden definido) ya que, todo campo ordenado es un campo formalmente real .

Answer 2

Sí, tiene mucho sentido.

Para utilizar $\gt$ , $\lt$ y $=$ de la misma manera que se utilizan en los números reales, bastará con una relación de muchos a uno que mapee los números complejos en números reales.

De forma más general, una orden no es más que una relación. Un orden total es una relación $R$ que es transitivo, asimétrico y conectado.

Transitivo: si $xRy$ y $yRz$ entonces $xRz$ por ejemplo, si 3>2 y 2>1 entonces 3>1;

Asimétrico: si $xRy$ entonces $yRx$ debe ser falso, por ejemplo, si 3 > 1 entonces 1 > 3 debe ser falso;

Conectado: Dados dos términos cualesquiera $x$ y $y$ , ya sea $xRy$ o $yRx$ .

Fuente: Russell, Bertrand. Introducción a la filosofía matemática "Capítulo IV La definición del orden"

Ejemplo1: ¿Quién se baja primero de la noria?

Dados dos números complejos cualesquiera $a=r_1e^{i\phi}$ y $b=r_2e^{i\psi}$ ,

definimos $a>b$ como

$(\phi > \psi)$ o $(\phi=\psi$ y $r_1>r_2 )$

Esto significa que la persona que ha recorrido un grado mayor desde el punto de partida o, si los grados recorridos son iguales, la persona que está en el extremo más lejano del radio se baja primero.

Así, $3e^{i\pi}> 2e^{i\pi}> 3e^{i\dfrac{\pi}{2}}$

Ejemplo2: Navegar con vientos cruzados

Supongamos que estás navegando hacia el noreste $(\dfrac{π}{4})$ . Se pueden producir varias elevaciones ajustando la vela, pero algunas elevaciones son mejores que otras porque producen más empuje hacia delante. Dada una elevación $fe^{i\theta}$ el empuje hacia delante que produce es $fcos(θ−\dfrac{π}{4})$ . Este es el valor que se utiliza para comparar varios ascensores.

Editar: Según el ámbito de los términos, esta comparación no da lugar necesariamente a un orden total. Diferentes ascensores pueden producir los mismos empujes hacia delante, por lo que se incumple el requisito de asimetría. No obstante, se pueden comparar los ascensores.

Si conoce el lenguaje de programación Ruby, puede personalizar el operador nave espacial para ordenar números complejos.