Creo que la respuesta es sí.
En mi argumento voy a utilizar el siguiente hecho: un morfismos de las variedades que es un bijection en puntos y cuyo destino es normal (por ejemplo, liso) es necesariamente un isomorfismo de variedades. (Esto se deduce de Zariski principal del teorema.)
Voy a probar, primero, que el $G$ es necesariamente suave. Desde $G$ es una variedad que genéricamente es suave, es decir que contiene un no-vacío abierto Zariski subconjunto $U$ consiste de los puntos de curva. Deje $g\in G$ ser un punto arbitrario, y elegir en $h \in G$ tal que $gh \in U$ (posible debido a $G$ es un grupo bajo la multiplicación y la $U$ no está vacía).
A continuación, $m^{-1}(U) \cap (G \times h)$ es un abierto Zariski subconjunto de $G \times h$,
decir $V \times h$, de tal manera que $g \in V$. Luego a la derecha de la multiplicación por $h$
da un mapa $V \to U$ que es un bijection en puntos, con $U$
suave. Así, este mapa debe ser un isomorfismo de variedades, y por lo $V$ es también suave. Así, cada punto de $G$ es suave.
Ahora considere la preimagen $\Gamma$ $1$ bajo $m$; esta es una subvariedad de $G \times G$,
la que teóricamente se compone de la gráfica de $i$. En particular, cada uno de los mapas de proyección es un conjunto teórico bijection $\Gamma \to G$.
Desde $G$ es suave (por lo que hemos demostrado más arriba), los morfismos $\Gamma \to G$ es una de morfismos de las variedades que es un conjunto teórico bijection con suave objetivo: es por lo tanto necesariamente un isomorfismo.
Añadido: el hecho de bijections requiere un char. cero asunción como se ha dicho, ya que, en la aplicación de la ZMT que subyace, se supone que el cuasi-finito de morfismos en cuestión, si genéricamente etale (por lo que podemos ir desde el conjunto de la teoría de la bijection a birational de morfismos). Este es automática en char. cero, pero puede fallar en positivo char.
Mi conjetura es que con un poco más de atención el argumento anterior se debe en realidad el trabajo en char. $p$ demasiado; por un lado mult. por $g$ induce una de morfismos $G \to G$ que se establece-en teoría, un bijection, por lo que en función de los campos en los que se da una puramente inseparable de la incrustación de $k(G) \hookrightarrow k(G)$ de algún grado $p^{n_g}$. Ahora $n_g$ debe ser genéricamente una constante, pero por otro lado, la composición de mult. por $g$ con mult. por $h$ muestra que $n_{gh} = n_g n_h$. Tomando $g$ $h$ a ser genéricos da ese $n_g = 1$ genéricos $g$, por lo tanto mult. por $g$ es genéricamente etale de grado $1$, es decir, genéricamente un isomorfismo. Esto debería dar el genérico etaleness necesarios para la ZMT argumento para ir a través de. Yo no creo que esto cuidadosamente, aunque.
