Hay varias maneras de interpretar la pregunta, así que mi principal foco de atención va a estar en la autocorrelación de una de Ornstein-Uhlenbeck (S-U) proceso. Entonces, ¿qué es un O-U proceso y en qué se diferencia de la difusión Browniana?
Difusión browniana
La ecuación diferencial estocástica (SDE) para la difusión Browniana de una partícula puede ser escrito como
$$\mathrm{d}x_t = \mathrm{d}W_t$$
donde $x$ es el desplazamiento y la $\mathrm{d}W$ un proceso estocástico tal, que se integramos ambos lados, $x_T - x_0 = \int_0^T\mathrm{d}W_t = \mathcal{N}(0, T)$, la distribución Gaussiana con media de $0$ y la varianza $T$. Un poco más de la física y la notación sería
$$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = \eta$$
donde $\eta$ es una variable aleatoria Gaussiana.
Así que usted puede ver en el ojo de su mente que usted como usted mantenga la adición de estos pequeños desplazamientos aleatorios para direcciones al azar, usted va a terminar con la difusión. Otra forma de describir la difusión y el más común para los físicos, es una ecuación diferencial parcial (la ecuación de Fokker-Planck), donde se escribe la distribución de probabilidad de la partícula como función del tiempo y la posición. Sin embargo, otra forma de escribir esto es como una Wiener ruta integral (la transformación entre estas representaciones ir a través de Feynman-Kac ecuación).
Ornstein-Uhlenbeck, los procesos de
Finalmente, pasando a la O-U de la ecuación:
$$\mathrm{d}x_t = -x_t\mathrm{d}t + \mathrm{d}W_t$$
o si lo prefieres
$$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = -x + \eta$$
¿Cómo afecta el nuevo cambio a largo plazo en el comportamiento? En lugar de difundir hasta el infinito, que están limitando la partícula con una fuerza lineal. En otras palabras, usted tiene una partícula en un potencial armónico, y algo de ruido añadido a la posición. La solución es sólo un cambio de variables de distancia: $x_t = e^{-t}y_t$, así que por Ito lema tenemos:
$$e^{-t}\mathrm{d}y_t - e^{-t}y_t\mathrm{d}t = \mathrm{d}x_t = -e^{-t}y_t\mathrm{d}t + \mathrm{d}W_t$$
así
$$y_T-y_0 = \int_0^Te^s\mathrm{d}W_s$$
que es
$$x_T = x_0e^{-T} + \int_0^Te^{(s-T)}\mathrm{d}W_s = \mathcal{N}\left(x_0e^{-T},
\frac{1}{2}(1-e^{-2T})\right)$$
donde el último paso de la siguiente manera a partir de la sustitución de la definición de expectativa de valor y la varianza.
¿Qué vemos? Vemos que nuestra observación $x_T$ tiempo $T$ depende de donde la última vez que vio a $x$. Pero de que esta dependencia (autocorrelación) muere de forma exponencial. De hecho, después de una cantidad infinita de tiempo, tenemos $x_T = \mathcal{N}(0,1)$. Tenga en cuenta que nosotros hicimos no consigue $x_T = \mathcal{N}(0,T)$, sino más bien que nuestra Gauss es limitado en tamaño y llegará a ser de ese tamaño en un aumento exponencial de la velocidad (como el efecto de la última observación se muere).
Johnson ruido
Ok, así que usted tiene una resistencia en serie con un inductor sobre algunos de voltaje y escribir
$$L\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t} = -RI + V$$
Familiar de la mirada? Supongamos que el voltaje es casi cero, pero como los portadores de carga a sí mismos se someten a la difusión, este voltaje es en realidad estocástico. Eso es un O-U proceso. Ahora, supongamos que usted mida la corriente en el tiempo 0 y, a continuación, de nuevo en el tiempo de $T$. En qué sentido estas Gaussiano e independiente? Como se discutió en la sección anterior, si esperas el tiempo suficiente, cada medición va a ser independientes el uno del otro y ambos se va a probar el mismo, finito de distribución (en contraposición a la infinitamente la difusión de distribución vimos en la difusión). Este Gaussianidad y su autocorrelación es lo que creo que fueron después. Por último, pasemos a algo que no creo que se fueron después, pero puede pensar como muy interesante, sin embargo.
Microscópico, el ruido de los portadores de carga
Ahora, ¿por qué debería $V$ ser estocástico, y ¿por qué debería ser de Gauss? Esta es una discusión más larga y solo voy a muy cualitativa y pasan brevemente. Supongamos que tenemos algún sistema simple: una partícula en Un potencial y un gran número de osciladores armónicos (sugestivamente llamado "el baño de calor"), junto a él, de modo que podríamos escribir el Hamiltoniano (un poco simplificada de la Caldeira Leggett modelo) como
$$\mathcal{H} = \frac{p^2}{2m} + V(q) + \sum_i \left(\frac{p_i^2}{2m_i} + \frac{1}{2}m_i\omega_i^2x_i^2\right) + q\sum_ix_i$$
Resulta que esta realidad puede ser convertido en una generalizada de Langevin ecuación de la forma
$$\frac{\mathrm{d}^2q}{\mathrm{d}t^2} = -\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}q}-\int_0^T\mathrm{d}t\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}\xi(T-t) + R(t)$$
donde la memoria del kernel $\xi(T-t)$ y el "azar fuerza" $R(t)$ ambos son algunas de las funciones de las cosas en el Hamiltoniano. Lo que es notable es que el azar de la fuerza, mientras determinista, se comporta exactamente como si se tratara de un "real" de Gauss térmica de la fuerza (fluctuación-disipación teorema, su correlación con las otras cantidades, etc). Así que, vamos a decir que es aleatorio y de esta manera integrar a cabo algunos grados de libertad que no nos importa.
Esto se puede hacer de forma más rigurosa para básicamente arbitraria de los sistemas de describir algunas espacio de fase de la evolución mediante el uso de Mori-Zwanzig teoría. Allí se puede tomar un operador de proyección, que se proyecta en el subespacio que contiene los grados de libertad de interés, y los otros grados de libertad, a continuación, se comportan como un baño termal. Muchos libros hacen que este fuera a ser algo muy complicado, pero es simplemente la matriz (o en realidad, operador) álgebra.
El punto es que si usted tiene un sistema y tienen un perfecto conocimiento de todo el espacio de fase, si la dejas caer algunos detalles, esos detalles le de muchas maneras actuar como si no fue una Gaussiana baño termal empujando el sistema.
