Determinante de una matriz de $4 \times 4$ $A$ y $(\det(A))^5$

Question

Calcular $\det(A)$ y $\det(A)^5$: $$A= \begin{bmatrix}a&a&a&a\\a&b&b&b\\a&b&c&c\\a&b&c&d\end{bmatrix}$ $

Encontré $\det A$ con la expansión de Laplace: $$a(-abc+b^2c+a c^2-b c^2+a b d-b^2 d-a c d+b c d) .$ $, pero ¿cómo puedo determinar $\det A^5$ fácil/rápido? Sé que existe la posibilidad de utilizar el % de $\det(A^5)=\det(A)^5)$, pero esto es demasiado largo de tiempo para resolver el problema dado.

Answer 1

Por supuesto $\det (A^5) = (\det A)^5$ es apenas el quinto poder de la expresión se produjo, pero note que también podemos factor de esa expresión como $$\det A = a (b - a) (c - b) (d - c) ,$ $ que uno también puede producir rápidamente por fila reduce $A$ a una matriz triangular superior.

Answer 2

Usted puede conseguir mucho más fácilmente la expresión restando la tercera línea de la cuarta, luego el segundo de la tercera y por último, el primero de la segunda: $$ \det A = \det\begin{pmatrix} a&a&a&a\\ a&b&b&b\\ a&b&c&c\\ 0&0&0&d-c \end{pmatrix} = \det\begin{pmatrix} a&a&a&a\\ a&b&b&b\\ 0&0&c-b&c-b\\ 0&0&0&d-c \end{pmatrix} = \det\begin{pmatrix} a&a&a&a\\ 0&b-a&b-a&b-a\\ 0&0&c-b&c-b\\ 0&0&0&d-c \end{pmatrix}=a(b-a)(c-b)(d-c) $$ puedes fácilmente encontrar $\det (A^5)$ ahora y decir que \det $$ A ^ n = \det\begin{pmatrix} a^n&*&*&*\\ 0&(b-a)^n&*&*\\ 0&0&(c-b)^n&*\\ 0&0&0&(d-c)^n \end{pmatrix} $$

Answer 3

Si los cálculos se hacen mentalmente , pero no apuntó hacia abajo, creo que la manera más rápida para calcular el $\det A$ es la nota que \begin{align} A&=a(e_1+e_2+e_3+e_4)(e_1+e_2+e_3+e_4)^T\\ &+(b-a)(e_2+e_3+e_4)(e_2+e_3+e_4)^T\\ &+(c-b)(e_3+e_4)(e_3+e_4)^T\\ &+(d-c)e_4e_4^T. \end{align} Por lo tanto, $A$ $LDL^T$ descomposición $$ A=\pmatrix{1&0&0&0\\ 1&1&0&0\\ 1&1&1&0\\ 1&1&1&1} \pmatrix{un\\ &b-a\\ &&c-b\\ &&&d-c} \pmatrix{1&1&1&1\\ 0&1&1&1\\ 0&0&1&1\\ 0&0&0&1} $$ y $\det A=a(b-a)(c-b)(d-c)$. Y como se ha señalado por los demás, $\det A^5$ es sólo $(\det A)^5$.

La anterior descomposición tiene el mérito adicional que se da también la firma de $A$. En particular, $A$ $A^5$ son positivas semidefinite si y sólo si $d\ge c\ge b\ge a\ge0$.

Answer 4

@Michael Freimann

Lo que sigue no es una respuesta. Es sólo un comentario aparte, que podrían ser de interés para algunos lectores.

El tipo de matrices en cuenta en esta pregunta puede ser descrito por la siguiente fórmula para sus coeficientes

$$A_{ij}=a_{min(i,j)}$$ for a given sequence $a_1,a_2,...a_n$, esta secuencia de estar aquí {a,b,c,d}.

Sus inversos tienen de forma tridiagonal con simple de los coeficientes. Por ejemplo, aquí:

$A^{-1}=\begin{pmatrix} \frac{1}{a} + \frac{1}{b-a}&\frac{1}{a - b}&0&0\\ \frac{1}{a - b}&\frac{1}{b-a} + \frac{1}{c-b}&\frac{1}{b - c}&0\\ 0&\frac{1}{b - c}&\frac{1}{c-b} + \frac{1}{d-c }&\frac{1}{c - d}\\ 0&0&\frac{1}{c - d}&\frac{1}{d-c}\end{pmatrix}$

En particular, cuando se $a=b=c=d=1$,

$$\text{La inversa de} \ \ \begin{pmatrix} 1&1&1&1\\ 1&2&2&2\\ 1&2&3&3\\ 1&2&3&4 \end{pmatrix} \ \ \text{es} \ \ \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 2&-1&0&0\\ -1&2&-1&0\\ 0&-1&2&-1\\ 0&0&-1&1\end{pmatrix} $$ Uno puede reconocer en la última matriz, una aproximación al contrario de la segunda derivada, una parte muy importante de la matriz de análisis numérico: consulte este (diapositivas 10, 29, 35, 37, 42...).

Esto está en clara conexión con la descomposición dada por @user1551, que, por $a=c=d=1$, se tiene:

$$A=\pmatrix{1&0&0&0\\ 1&1&0&0\\ 1&1&1&0\\ 1&1&1&1} \pmatrix{1&1&1&1\\ 0&1&1&1\\ 0&0&1&1\\ 0&0&0&1}$$

que es equivalente a un doble discreta integración de operador.

Por supuesto, esta propiedad se extiende de forma natural a cualquier dimensión. Por otra parte, tiene una buena correspondencia con la "continua mundo": consulte este.