¿Por qué produce esta secuencia como esta?

Question

El otro día me envió a mi novia este texto

<3

ella me envió de nuevo

<3<3<3

no ser uno subido me respondió con

<3<3<3<3<3<3<3

este se puso muy tonto muy rápidamente.

Después de nuestro "<3" batalla había terminado me puse a pensar sobre el patrón que se estaban formando. Desde que se estaban duplicando el número de corazones y la adición de uno de ellos pensé que la secuencia sería algo así como 2^n + 1. PERO NO LO ES. Es 2^n - 1 .

¿Por qué es esto?

Answer 1

El patrón es claramente para los pocos primeros términos. Vamos a ver si de paso $n$ $n+1$ de paso mantiene con el patrón.

$a_n=2^n-1$. Entonces $$ a_ {n + 1} = 2a_n + 1 = 2(2^n-1) + 1 = 2 ^ {n + 1}-2 + 1 = 2 ^ {n + 1} -1. $$

Answer 2

Porque empezaste con $1=2^1-1$. Entonces $2*1+1=2*(2^1-1)+1=2^2-1$. Generalmente $2(2^n-1)+1=2^{n+1}-1$ cuando doble el $-1$ y agregue $1$, obtendrá $-1$ otra vez.