Es $V$ bajo ZFC realmente una clase adecuada?

Question

Es $V$ ¿la unión de la jerarquía von Neumann, necesariamente una clase propia? ¿O sólo es una clase propia después de suponer que contiene todos los conjuntos? (En ese caso, $V$ no puede ser un "conjunto de todos los conjuntos" porque el axioma del fundamento implica que no puede existir un "conjunto de todos los conjuntos").

Replanteado como una analogía: ¿Es realmente más como $V_\omega$ cuya existencia no puede ser probada o refutada hasta que se asuma el axioma del infinito?

¿O estoy entendiendo mal el significado de "clase propia" o algo más fundamental?

(Tengo preguntas similares sobre la colección de todos los ordinales).

Answer 1

Asaf ya ha dado una buena respuesta a tu pregunta, pero yo añadiré una segunda perspectiva.

No es necesario suponer que todo conjunto pertenece a la jerarquía de von Neumann, ya que se puede demostrar. Supongamos que hubiera algún conjunto que no perteneciera a esta jerarquía. Entonces, por Fundación, hay un $\in$ -mínimo tal conjunto, llamémoslo $x$ . Cada elemento de $x$ pertenece a la jerarquía de von Neumann, pero $x$ no lo hace (supuestamente). Pero si dejamos que $\alpha = \sup \{ \mathrm{rank}(y)+1 : y \in x \}$ está claro que $x \subset V_{\alpha}$ y así $x \in V_{\alpha + 1}$ lo que significa que sí pertenece a la jerarquía después de todo.

De hecho, si $M$ es cualquier modelo transitivo de $ZFC$ tiene lo que cree que son las operaciones de conjunto de potencias y de unión, y lo que cree que es la clase de todos los ordinales, y así $M$ puede construir lo que cree que es la jerarquía de von Neumann, y esta jerarquía resultante será igual a $M$ . Así que, en particular, pensará que su versión de la jerarquía de von Neumann forma una clase propia.

Pero si $M$ eran, por ejemplo, los $\kappa ^{\mathrm{th}}$ nivel en la jerarquía von Neumann de algún modelo mayor $N$ de la teoría de conjuntos, donde $\kappa$ es inaccesible en $N$ entonces $N$ pensará en $M$ como un conjunto mientras que $M$ se considera una clase propia. En esta misma línea, $N$ pensará en $\kappa$ como algún ordinal mientras que $M$ pensará en $\kappa$ como la clase de todos los ordinales. Lo más interesante es que habrá subcolecciones de $M$ perteneciente a $N$ que no son definibles sobre $M$ (por un argumento de conteo), por lo que serán subcolecciones de $M$ que no son conjuntos en $M$ ni son lo que $M$ considerarían clases adecuadas.

La moraleja es que, en general, lo que se considera una clase propia y lo que no depende del contexto. Dado un modelo transitivo $M$ de ZFC, una clase propia en $M$ es técnicamente una fórmula $\phi (x, p)$ con parámetros $p$ de $M$ tal que no hay ningún miembro de $M$ que consiste precisamente en todos aquellos miembros de $M$ que satisfacen la fórmula dada (según $M$ ), es decir $$M \not \vDash \exists y (x \in y \leftrightarrow \phi (x, p))$$ y informalmente es el conjunto de esas cosas en $M$ que satisface esa fórmula, es decir $$\{x \in M | M \vDash \phi (x,p)\}$$ pero esta colección puede existir como miembro de algún modelo mayor, o puede no existir.

Answer 2

La cuestión es que una clase propia es una colección de elementos en un universo de la teoría de conjuntos que no es un conjunto, es decir, no es un elemento del universo.

De la paradoja de Russell se deduce que la colección de todos los conjuntos no es un conjunto, por lo tanto una clase propia.

Sin embargo, supongamos que $V$ es un modelo de la teoría de conjuntos, y $\langle M,E\rangle\in V$ es tal que $M$ puede ser un modelo de la teoría de conjuntos cuando se piensa en $E$ como la relación epsilon para este modelo, entonces $M$ se ve como una clase propia, pero $V$ - el universo mayor - ve $M$ como un conjunto.

Por otro lado, considere $V$ es un modelo de la teoría de conjuntos, piensa en sí mismo como una clase, y considera su modelo interno $L$ el universo Godel de $V$ entonces $V$ piensa $L$ también es una clase, simplemente por el hecho de que la clase de los ordinales está incrustada en $L$ .

Para concluir, un modelo de la teoría de conjuntos siempre se ve a sí mismo como una clase propia. La forma en que ve a otros modelos, y ellos lo ven puede ser como un conjunto o como una clase.

En cuanto a la colección de los ordinales esto es más sencillo, ya que ésta es una colección bien ordenada, por lo que debe ser isomorfa a algún ordinal si fuera un conjunto, pero entonces se tiene que es un conjunto que es miembro de sí mismo, por lo que la colección de todos los ordinales es una clase propia.

Una adición más: $V_\omega$ es realmente un modelo de $\mbox{ZFC}-\mbox{Infinity}$ Sin embargo, su existencia como set no se puede demostrar sin el axioma del infinito, si se asume la existencia del conjunto vacío entonces se puede construir $V_\omega$ (reiterando la operación de conjunto potencia) y tener un modelo para la teoría de conjuntos finitamente hereditarios, que piensa en sí mismo como una clase, por las mismas razones anteriores.