Bueno, quizás debería considerar la posibilidad de la lectura de La formulación Hamiltoniana de la Relatividad General: mitos y realidad para más detalles matemáticos. Pero me gustaría recordarle a usted con la mayoría de los limitados sistemas Hamiltonianos, el corchete de Poisson de la restricción genera medidor de transformaciones.
Para la Relatividad General, foliating spacetime $\mathcal{M}$ $\mathbb{R}\times\Sigma$ termina produciendo diffeomorphism restricciones de $\mathcal{H}^{i}\approx0$ y un Hamiltoniano restricción $\mathcal{H}\approx 0$. Nota I denotar débil igualdades como $\approx$.
Este es considerado primero en Pedro G. Bergmann y Arthur Komar es "La de coordinar el grupo de simetrías de la teoría general de la relatividad" Entre otras. J. La. Phys. 5 nº 1 (1972) pp 15-28.
Ya que usted me lo pide, le voy a dar un par de ejercicios para considerar!
Ejercicio 1: Mentira Derivados de la Métrica
La Mentira derivados de la métrica a lo largo de un vector $\xi^{a}$ es
$$
\mathcal{L}_{\xi}g_{ab}=g_{ac}\partial_{b}\xi^{c}+g_{bc}\partial_{a}\xi^{c}+\xi^{c}\partial_{c}g_{ab}
$$
Mostrar que esto puede escribirse como
$$
\mathcal{L}_{\xi}g_{ab}=\nabla_{un}\xi_{b}+\nabla_{b}\xi_{un}
$$
donde $\nabla$ es el estándar de la derivada covariante.
Ejercicio 2: las Limitaciones de generar diffeomorphisms
Recordemos que el Hamiltoniano y el impulso, las restricciones son
$$\mathcal{H} = \frac{16\pi G}{\sqrt{q}}\left(\pi_{ij}\pi^{ij}-\frac{1}{2}\pi^{2}\right)-\frac{\sqrt{q}}{16\pi G}{}^{(3)}\!R,\quad\mathcal{H}^{i} = -2D_{j}\pi^{ij}$$
y $\pi^{ij}=\displaystyle\frac{1}{16\pi G}\sqrt{q}(K^{ij}-q^{ij}K)$$K_{ij}=\displaystyle\frac{1}{2N}(\partial_{t}q_{ij}-D_{i}N_{j}-D_{j}N_{i})$. Vamos
$$H[\widehat{\xi}] = \int d^{3}x\left[\hat{\xi}^{\bot}\mathcal{H}+\widehat{\xi}^{i}\mathcal{H}_{i} \right]$$
Mostrar que $\mathcal{H}[\widehat{\xi}]$ genera (espacio-tiempo) diffeomorphisms de $q_{ij}$, es decir,
$$\left\{H[\widehat{\xi}],q_{ij}\right\}=(\mathcal{L}_{\xi}g)_{ij}$$
donde $\mathcal{L}_{\xi}$ es el total de espacio-tiempo de la Mentira derivado y el espacio-tiempo del vector de campo $\xi^{\mu}$ está dado por
$$\widehat{\xi}^{\bot}=N\xi^{0}, \quad \widehat{\xi}^{i}=\xi^{i}+N^{i}\xi^{0}$$
Los parámetros de $\{\widehat{\xi}^{\bot},\widehat{\xi}^{i}\}$ son conocidos como "la deformación de la superficie de parámetros".
(Sugerencia: utilice problema 1 y expresar la Mentira derivados de la métrica espacio-tiempo en términos de la ADM de descomposición.)
Addendum: me gustaría dar unas cuantas más referencias sobre la relación entre la diffeomorphism grupo y el Bergmann-Komar grupo.
Desde el formalismo Hamiltoniano, hay un par de referencias:
- C. J. Isham, K. V. Kuchar "Representaciones del espacio-tiempo diffeomorphisms. I. Canónica parametrizadas campo de las teorías". Anales de la Física 164 2 (1985) pp 288-315
- C. J. Isham, K. V. Kuchar "Representaciones del espacio-tiempo diffeomorphisms. II. Canónica geometrodynamics" Ann. Phys. 164 2 (1985) pp 316-333
El Lagrangiano de análisis de las simetrías se presentan en:
- Josep Pons M, "Generalmente covariante teorías: la Noether obstrucción para la realización de cierto espacio de tiempo diffeomorphisms en el espacio de fase." Gravedad Cuántica y clásica 20 (2003) 3279-3294; arXiv:gr-qc/0306035
- J. M. Pons, DC Salisbury, L. C. Shepley, "Indicador de las transformaciones en el Lagrangiano y Hamiltoniano formalismos de general covariante de las teorías". Phys. Apo. D 55 (1997) pp 658-668; arXiv:gr-qc/9612037
- J. Antonio García, J. M. Pons "de Lagrange simetrías de Noether como transformaciones canónicas." Int.J.Mod.Phys. Un 16 (2001) pp 3897-3914; arXiv:hep-th/0012094
Para más información sobre la hipersuperficie de deformación álgebra, primero fue investigado realmente en Hojman, Kuchar, y Teitelboim del "Geometrodynamics Recuperado" (Anales de la Física 96 1 (1976) pp 88-135).
