¿Existe algún número real, excepto el 1, que sea igual a su propia medida de irracionalidad?

Question

¿Existe algún número real excepto $1$ que es igual a su propio medida de irracionalidad ? Si es así, ¿cuál es la cardinalidad del conjunto de todos esos números? ¿Es el conjunto denso en algún intervalo? ¿Es medible?

Answer 1

Utilizando la propiedad indicada en ese artículo:

$$\mu(x)=2 + \limsup \frac{\log a_{n+1}}{\log q_n}$$

donde la expansión de la fracción continua para $x$ es $[a_0,a_1,...]$ y el $n$ El convergente es $\frac{p_n}{q_n}$ .

Comienza con $a_0=2$ y $a_1=2$ Así que $q_0=1$ , $q_1=2$ .

Ahora, suponga que tiene una fracción continua $$\frac{p_n}{q_n}=[a_0,...,a_n]$$

Definir $a_{n+1}$ para ser el menor número entero tal que $2+\frac{\log a_{n+1}}{\log q_n}>\frac{p_n}{q_n}$ .

Entonces $x = [a_0,a_1,...] = \lim \frac{p_n}{q_n}$ satisfará su necesidad.

Sólo hay que mostrar un límite en $2+\frac{\log a_{n+1}}{\log q_n}-\frac{p_n}{q_n}$ .

En particular, puede utilizar ese $\log (a_{n+1}-1)>(\log a_{n+1}) -1$ para demostrar que si $2+\frac{\log a_{n+1}}{\log q_n}-\frac{p_n}{q_n}>\frac{1}{\log q_n}$ entonces $$2+\frac{\log (a_{n+1}-1)}{\log q_n}>\frac{p_n}{q_n}$$ lo que violaría nuestra definición de $a_{n+1}$ . Así que $$\mu(x)=2+\limsup \frac{\log a_{n+1}}{\log q_n} = \lim \frac{p_n}{q_n}= x$$

Por lo tanto, existe un $x$ .

Se pueden conseguir fácilmente innumerables $x$ eligiendo cualquier valor $a_{2n}\in\{1,2\}$ y luego elegir el $a_{2n+1}$ por la condición anterior, haciendo de nuevo el $\limsup$ igual al límite de $\frac{p_n}{q_n}$ .

Creo que se puede hacer el mismo argumento para demostrar que el conjunto es denso en $[2,\infty)$ . Básicamente, se puede hacer un $x$ empezando por cualquier secuencia finita $[a_0,...,a_n]$ con $a_0\geq 2$ . De hecho, es incontable en cualquier subintervalo finito $[a,b]$ con $b>a\geq 2$ .

No creo que esto resuelva el problema de la mensurabilidad, en contra de mis afirmaciones anteriores.

Se siente como $\{x:\mu(x)=x\}$ debe ser medible, ya que se siente bastante constructivo. Por otra parte, parece que si el conjunto $\{x:\mu(x)=x\}$ tiene una medida distinta de cero, entonces $\{x:\mu(x)=x+\alpha\}$ debe tener una medida distinta de cero, cuando $\alpha\in\mathbb R$ y así tendríamos un conjunto incontable de medidas positivas disjuntas, lo que creo que no es posible.

Así que mi opinión es que el conjunto es medible con medida $0$ .

Pero eso es todo instinto, no hay pruebas.

Answer 2

Sólo pensaba en voz alta, esto no es mi área de experiencia en absoluto, pero encontré la pregunta intrigante. Esto debería ser un comentario pero es demasiado largo.

Utilizando $\mu$ para la medida de irracionalidad, y como $$\begin{align}\mu(x)=1&\text{if}\ x\in\mathbb{Q}\\ \mu(x)=2&\text{if}\ x\in\mathbb{A}\text{ [Roth]}\\ \mu(x)\ \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=}\ \infty&\text{if}\ x\ \text{is Liouville}\\ \mu(x)\geqslant2&\text{otherwise} \end{align}$$ entonces $1$ es el único número racional o algebraico que satisface su condición. Así que cualquier solución posible debe ser (1) trascendental, (2) $>2$ y (3) no es un número de Liouville. Por desgracia, sólo conocemos (o tenemos límites superiores) las medidas de irracionalidad de unos pocos números de este tipo y ninguno de ellos funciona, y hay incontables números trascendentales que no son de Liouville.

Allí es un método de construcción de números $x$ que tienen un determinado $\mu$ , a saber $$x = [\lfloor a\rfloor;\lfloor a^b\rfloor,\lfloor a^{b^2}\rfloor,\lfloor a^{b^3}\rfloor,\dots]\ |\ a>1,b=\mu-1$$ Ver Brisebarre, 2002 . Así que supongo que se podría establecer $x=\mu$ y trabajar a partir de ahí. Pero no encuentro que nadie lo haya hecho, todavía.