Para resolver $y^2 + 2 = x^3$ puede factor $(y - \sqrt{-2})(y + \sqrt{-2}) = x^3$ y compruebe que son relativamente privilegiadas y por factorización única debe ser cubos entonces puede resolverlo.
¿$y^2 + 5 = x^3$ Que no tiene única factorización?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
A menudo lo que importa no es si el número de anillo en cuestión es un UFD, pero si su número de clase es relativamente primos a un cierto número de clave. En el caso del Último Teorema de Fermat, estos factoring métodos funcionan bien para $x^p + y^p = z^p$ para regular los números primos, es decir, de los números primos para que $p$ no dividir el número de clase de el anillo de los enteros de $\mathbb{Q}(\zeta_p)$.
Para el Bachet-Mordell ecuación de $y^2 + k = x^3$ (supongo que $k$ es squarefree), el caso favorable es $k \equiv 1,2 \pmod 4$ (de modo que $\mathbb{Z}[\sqrt{-k}]$ es el total de anillo de enteros de $\mathbb{Q}(\sqrt{-k})$) y que el número de clase de $\mathbb{Q}(\sqrt{-k})$ es el primer a $3$. En el caso particular $k = 5$, estás de suerte: $5 \equiv 1 \pmod 4$ y el número de clase es $2$, que es tan buena como la de $1$!
¿Qué es exactamente lo ganamos cuando esto sucede? Por alguna feliz casualidad, escribí algunas notas sobre precisamente este: por favor, consulte el Teorema 7 aquí. (Véase también "tablas" en la página 9.)
Neall
Puntos
12075
No factorización en anillos sin factorización única es necesario. Mira la prueba del teorema 2.2 en http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/gradnumthy/mordelleqn1.pdf.
