Es bien sabido, al menos entre los teóricos de los topos, que el pseudofunctor $\textbf{Sh} : \textbf{Top} \to \mathfrak{BTop}$ factores a través de la categoría de locales $\textbf{Loc}$ y el pseudofunctor $\textbf{Sh} : \textbf{Loc} \to \mathfrak{BTop}$ es esencialmente plena y fiel.
En efecto, en primer lugar, supongamos $\mathcal{E} = \textbf{Sh}(X)$ donde $X$ es un espacio topológico. Entonces, el marco de subobjetos del objeto terminal de $\mathcal{E}$ es exactamente el marco de subconjuntos abiertos de $X$ . Por otra parte, de la definición se desprende que $\textbf{Sh}(X)$ sólo depende del marco de subconjuntos abiertos de $X$ y no en los puntos, por lo que dos espacios topológicos que tienen marcos isomorfos tendrán topos isomorfos - y dos espacios con topos equivalentes tendrán marcos isomorfos.
Ahora, supongamos $\mathcal{E}$ y $\mathcal{F}$ son topos locales, es decir, de la forma $\textbf{Sh}(X)$ para alguna localidad $X$ . Un morfismo geométrico $f : \mathcal{E} \to \mathcal{F}$ está completamente determinada por su parte imagen inversa $f^* : \mathcal{F} \to \mathcal{E}$ que por definición es exacta a la izquierda y cocontinua. Pero esto significa que $f^*$ se restringe a un homomorfismo de marco a partir del marco de subterminales de $\mathcal{F}$ al marco de subterminales de $\mathcal{E}$ - que es precisamente el dato de un morfismo de localidad $\operatorname{Sub}_\mathcal{E} 1 \to \operatorname{Sub}_\mathcal{F} 1$ - y como un topos localico es generado por sus subterminales, esto determina completamente $f$ como un morfismo geométrico.
Por último, ya que dices que estás leyendo a Hartshorne, mencionaré esto: el espacio topológico subyacente de un esquema es un espacio topológico sobrio, por lo que dos esquemas son homeomórficos si y sólo si sus marcos de conjuntos abiertos son isomórficos. Además, dado sólo el marco de conjuntos abiertos, se puede recuperar el espacio topológico observando los homomorfismos de marco $O \to \{ 0, 1 \}$ .
Lo que he dicho más arriba es realmente acerca de las poleas de conjuntos . Pero estoy seguro de que se puede decir algo parecido de las gavillas de grupos abelianos, aunque con más esfuerzo: después de todo, se puede aplicar el functor de grupo libre a los subterminales para obtener una familia de gavillas abelianas. El problema es averiguar qué tienen de especial estas gavillas... pero aquí tenemos una posibilidad: tomamos $\textbf{Ab}(\textbf{Sh}(X))$ como categoría cerrada simétrica monoidal. El funtor de grupo libre $\textbf{Sh}(X) \to \textbf{Ab}(\textbf{Sh}(X))$ es monoidal fuerte (si no me equivoco), preserva los monomorfismos y es cocontinuo, por lo que esperamos ver el marco de conjuntos abiertos reflejado de alguna manera en $\textbf{Ab}(\textbf{Sh}(X))$ . Creo que es precisamente el marco de subobjetos $A$ de la gavilla constante $\mathbb{Z}$ tal que $A \otimes_\mathbb{Z} A \cong A$ .
