¿Cómo se encuentra $z\in \mathbb{C}$ tal que $\sin z=100?$

Question

Estoy estudiando por mi cuenta Análisis Complejo y se supone que debo encontrar $z\in \mathbb{C}$ tal que $\sin z=100.$ Sé que $$\sin z=\sin x \cosh y+i\cos x\sinh y$$

Así que debo tener $\sin x \cosh y=100.$ Miré en Wolfram y descubrí que $y=i(x-\sin^{-1}(100))$ . No he podido resolver esta pregunta. ¿Cómo se encuentra esa solución? De hecho, no esperaba encontrar $y$ en función de $x$ .

Answer 1

Primero te equivocas de término. Su objetivo es $$ 100 = \sin x \cosh y + i \cos x\sinh y$$ Lo más fructífero que podemos hacer aquí es examinar la parte imaginaria de cada lado lo que nos da $0=\cos x\sinh y$ . Un producto sólo puede ser cero si al menos uno de sus factores lo es, por lo que tenemos $\cos x = 0$ o $\sinh y = 0$ . Esta última posibilidad sólo es cierta para $y=0$ -- cuando $y=0$ el seno de $x+iy$ es real, pero también está entre $-1$ y $1$ así que no encontraremos una solución ahí.

Así que debemos tener $\cos x=0$ lo que implica $\sin x = \pm 1$ . Entonces mira la parte real que ahora se derrumba en $100 = \pm \cosh y$ que ahora puedes resolver para $y$ . Resulta que $\pm$ debe ser $+$ y $y$ debe ser $\pm\cosh^{-1}(100)$ .

Ahora pon tu $x$ y $y$ juntos para encontrar $$ z = \frac{\pi}2 + 2\pi k \pm i\cosh^{-1}(100) \qquad k\in\mathbb Z $$ El arcocoseno hiperbólico resulta ser expresable en términos de funciones más simples, por lo que también podemos escribir $$ z = \frac{\pi}2 + 2\pi k \pm i\log\left(100+\sqrt{9999}\right) \qquad k\in\mathbb Z $$

Answer 2

Reescribe la función seno utilizando exponenciales complejos,

$$\sin z = \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}.$$

Si a continuación multiplicamos ambos lados por $e^{iz}$ tendrás una ecuación cuadrática en la variable $w=e^{iz}$ ...